Verifique se a função é contínua no ponto dado.
(d) f(z)=\frac{z^{2}+1}{z+i} ; z_{0}=-i

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(z)=\frac{z^{2}+1}{z+i}
no ponto z_{0}=-i. Para isso precisamos lembrar que uma função complexa é contínua em z_{0} se, e somente se, (i) f está definida em z_{0} e (ii)
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0})\,.

Passo 2

Verificamos primeiro se f está definida em z_{0}=-i. O denominador de f(z) é z+i, logo em z=-i temos
z+i = -i + i = 0,
portanto f(-i) não está definida. Isso já impede a continuidade em -i.

Passo 3

Mesmo assim podemos estudar o comportamento limite para ver que tipo de descontinuidade ocorre. Note que
z^{2}+1 = (z-i)(z+i),
então, para z\neq -i,
f(z)=\frac{(z-i)(z+i)}{z+i}=z - i.
Desse modo
\lim_{z\to -i}f(z)=\lim_{z\to -i}(z - i)=-i - i = -2i.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{z\to -i}f(z)=-2i existe, mas como f(-i) não está definida, a condição de continuidade falha. A singularidade em -i é removível, pois o limite existe.

Resposta

A função não é contínua em z_{0}=-i (há uma descontinuidade removível).

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