Verifique que a função f(x, y)=\ln \left(e^{x}+e^{y}\right) é solução da equação:
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f(x,y)=\ln\bigl(e^x+e^y\bigr)
é solução da equação em derivadas parciais
\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = 1.
O conteúdo necessário é cálculo de derivadas parciais e uso da regra da cadeia.

Passo 2

Calculemos \partial f/\partial x. Como f(x,y)=\ln(u) com u=e^x+e^y, pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{e^x+e^y}\cdot e^x = \frac{e^x}{e^x+e^y}.

Passo 3

De modo análogo, para \partial f/\partial y temos
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{e^x+e^y}\,\frac{\partial}{\partial y}(e^x+e^y) = \frac{e^y}{e^x+e^y}.

Passo 4

Somando as duas derivadas:
\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^x}{e^x+e^y} + \frac{e^y}{e^x+e^y} = \frac{e^x + e^y}{e^x+e^y} = 1.

Passo 5

Como a soma das derivadas parciais é igual a 1 em todo (x,y), concluímos que f satisfaz a equação dada.

Resposta

A função f(x,y)=\ln\bigl(e^x+e^y\bigr) é de fato solução de
\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = 1.

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