Verifique que a função
é solução da equação:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é solução da equação
O conteúdo é o cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e a verificação de que satisfaz a equação de Monge–Ampère acima. Vamos precisar do regra do quociente e da cadeia para obter as segundas derivadas.
Passo 2
Calcular as derivadas de primeira ordem. Defina
então
Pela regra da cadeia e do quociente,
Passo 3
Calcular as segundas derivadas.
- Para
, use a regra do quociente:
- Por simetria,
- Para a mista
,
Passo 4
Verificar a equação de Monge–Ampère
Substituindo os valores:
Então
Resposta
logo
é solução da equação dada.