Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
integral-infty^infty x e^-x d x

Passo 1

Vamos analisar a integral . O objetivo é verificar se essa integral é convergente ou divergente. Para isso, precisamos entender conceitos de integrais impróprias e convergência de integrais. Vamos dividir a integral em partes mais simples e analisar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
integral-infty^infty x e^-x , dx = integral-infty^0 x e^-x , dx + integral0^infty x e^-x , dx
Isso nos permite examinar separadamente os comportamentos da função nos intervalos e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte da integral: integral-infty^0 x e^-x , dx = integralinfty^0 (-t) e^t (-dt) = integral0^infty t e^t , dt .
Fazendo uma substituição , temos e os limites de integração mudam de para em para a em :
Agora, avaliamos . Note que cresce exponencialmente à medida que tende ao infinito, e multiplicado por , a função diverge para . Portanto, essa parte da integral é divergente.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral: integral u , dv = uv - integral v , du .
Esta é uma integral conhecida, onde a função integral0^infty x e^-x , dx = -x e^-x |0^infty + integral0^infty e^-x , dx decai exponencialmente à medida que = 0 + -e^-x |0^infty = 0 + (0 - (-1)) = 1 aumenta. Podemos resolver essa integral utilizando a integração por partes:
Seja e , então temos e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Portanto, esta parte da integral converge para .

Passo 5

Apesar de a segunda parte da integral convergir, a primeira parte que analisamos é divergente. Quando uma das partes de uma integral imprópria diverge, a integral total também é considerada divergente.

Resposta

A integral diverge.

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