Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x^{\alpha} \ln x}, \alpha>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}\ln x},\qquad \alpha>0
é convergente ou divergente.
Informações dadas importantes:
  • O intervalo de integração é [2,\infty), então a impropriedade vem do infinito (não há singularidade em x=2 porque \ln 2>0 e 2^{\alpha} é finito).
  • O parâmetro \alpha é positivo e a resposta pode depender do valor de \alpha.
O que precisamos decidir: para quais valores de \alpha>0 a integral converge e para quais diverge.

Passo 2

Estratégia geral (explicando as ferramentas que vou usar, devagarinho):
  • Para integrais no infinito, costuma-se comparar com integrais-p do tipo \int_{A}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{p}} (conhecidas: convergem se, e só se, p>1).
  • Também posso usar substituição u=\ln x para transformar a integral e ver o comportamento exponencial no infinito.
  • Vou dividir o trabalho em três casos: \alpha>1, \alpha=1 e 0<\alpha<1. Antes disso, nota técnica: posso dividir a integral em \int_{2}^{e}+\int_{e}^{\infty}. A parte \int_{2}^{e} é um número finito (função contínua em [2,e]), então só o comportamento da cauda \int_{e}^{\infty} importa para convergência.

Passo 3

Caso \alpha>1. Aqui uso comparação simples com a integral-p.
Para x\ge e vale \ln x\ge 1. Logo, para x\ge e,
\frac{1}{x^{\alpha}\ln x}\le \frac{1}{x^{\alpha}}.
Explicando a comparação: se uma função não-negativa f(x) satisfaz 0\le f(x)\le g(x) para x grande e \int_{e}^{\infty} g(x)\,dx converge, então \int_{e}^{\infty} f(x)\,dx também converge (teste da comparação).
Sabendo que a integral-p
\int_{e}^{\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}}
converge exatamente quando \alpha>1, concluímos que para \alpha>1 a cauda \int_{e}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{\alpha}\ln x} converge. Somando com a parte finita \int_{2}^{e}, a integral original converge para \alpha>1.
(Lembrete rápido sobre a integral-p: \int_{A}^{\infty} x^{-p}dx tem primitiva \dfrac{x^{1-p}}{1-p} se p\neq1, e daí dá finito quando p>1.)

Passo 4

Caso \alpha=1. Aqui a integral torna-se
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}.
Faço a substituição clássica u=\ln x. Então du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=2 temos u=\ln 2 e quando x=R (para cortar a integral) temos u=\ln R. Assim
\int_{2}^{R}\frac{dx}{x\ln x}=\int_{\ln 2}^{\ln R}\frac{du}{u}=\bigl[\ln u\bigr]_{\ln 2}^{\ln R}=\ln(\ln R)-\ln(\ln 2).
Ao deixar R\to\infty obtém-se \ln(\ln R)\to\infty. Logo a integral diverge para \alpha=1.

Passo 5

Caso 0<\alpha<1. Vou mostrar que a integral diverge por comparação com \dfrac{1}{x}. A ideia: \ln x cresce mais devagar que qualquer potência x^{\delta} com \delta>0. Tome \delta=1-\alpha>0. Então
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1-\alpha}}=0,
o que significa que existe X tal que, para todo x\ge X, temos \ln x\le x^{1-\alpha}. Para esses x,
\frac{1}{x^{\alpha}\ln x}\ge \frac{1}{x^{\alpha}\cdot x^{1-\alpha}}=\frac{1}{x}.
Portanto, para x grande, a função integranda é maior ou igual a 1/x. Como
\int_{X}^{\infty}\frac{dx}{x}
diverge (é a integral harmônica no infinito), pelo teste da comparação temos que \int_{X}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{\alpha}\ln x} também diverge. Assim a integral original diverge para 0<\alpha<1.
(Comentário didático: a afirmação \ln x=o(x^{\delta}) para qualquer \delta>0 é um fato padrão: log cresce mais lentamente que potência.)

Passo 6

Resumo das conclusões já justificadas:
  • Para \alpha>1: a integral converge (comparação com \int 1/x^{\alpha} em [e,\infty)).
  • Para \alpha=1: a integral diverge (substituição u=\ln x \int 1/u\,du que diverge).
  • Para 0<\alpha<1: a integral diverge (comparação mostrando integrando \ge 1/x para x grande).

Resposta

A integral converge se, e somente se, \alpha>1.
Diverge para 0<\alpha\le 1.