Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente.
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
- O intervalo de integração é
, então a impropriedade vem do infinito (não há singularidade em porque e é finito). - O parâmetro
é positivo e a resposta pode depender do valor de .
O que precisamos decidir: para quais valores de
a integral converge e para quais diverge.
Passo 2
Estratégia geral (explicando as ferramentas que vou usar, devagarinho):
- Para integrais no infinito, costuma-se comparar com integrais-p do tipo
(conhecidas: convergem se, e só se, ). - Também posso usar substituição
para transformar a integral e ver o comportamento exponencial no infinito. - Vou dividir o trabalho em três casos:
, e . Antes disso, nota técnica: posso dividir a integral em . A parte é um número finito (função contínua em ), então só o comportamento da cauda importa para convergência.
Passo 3
Caso
. Aqui uso comparação simples com a integral-p.
Para vale
. Logo, para
,
Para
Explicando a comparação: se uma função não-negativa
satisfaz
para
grande e
converge, então
também converge (teste da comparação).
Sabendo que a integral-p
Sabendo que a integral-p
converge exatamente quando
, concluímos que para
a cauda
converge. Somando com a parte finita
, a integral original converge para
.
(Lembrete rápido sobre a integral-p:
tem primitiva
se
, e daí dá finito quando
.)
Passo 4
Caso
. Aqui a integral torna-se
Faço a substituição clássica
. Então
. Quando
temos
e quando
(para cortar a integral) temos
. Assim
Ao deixar
obtém-se
. Logo a integral diverge para
.
Passo 5
Caso
. Vou mostrar que a integral diverge por comparação com
. A ideia:
cresce mais devagar que qualquer potência
com
. Tome
. Então
o que significa que existe
tal que, para todo
, temos
. Para esses
,
Portanto, para
grande, a função integranda é maior ou igual a
. Como
diverge (é a integral harmônica no infinito), pelo teste da comparação temos que
também diverge. Assim a integral original diverge para
.
(Comentário didático: a afirmação
para qualquer
é um fato padrão: log cresce mais lentamente que potência.)
Passo 6
Resumo das conclusões já justificadas:
- Para
: a integral converge (comparação com em ). - Para
: a integral diverge (substituição dá que diverge). - Para
: a integral diverge (comparação mostrando integrando para grande).
Resposta
A integral converge se, e somente se,
.
Diverge para .
Diverge para