Verifique se S é LI ou LD:
S=\left\{\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}5 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)\right\} \subset M_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \Bigl\{A_{1} = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 2\end{pmatrix},\; A_{2} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\; A_{3} = \begin{pmatrix}5 & 1\\\ 2 & 4\end{pmatrix}\Bigr\} \subset M_{2}(\mathbb{R})
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Conteúdo: Teste de independência linear em um espaço vetorial, aqui M_{2}(\mathbb{R}). Vamos montar a combinação linear geral igual a zero e ver se só há solução trivial.

Passo 2

Considere
\alpha A_{1} + \beta A_{2} + \gamma A_{3} = \alpha\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 2\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} + \gamma\begin{pmatrix}5 & 1\\\ 2 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\alpha + 5\gamma & \alpha + \gamma\\\ \beta + 2\gamma & 2\alpha + 4\gamma \end{pmatrix}.
Impondo que isso seja a matriz zero, obtemos o sistema
\begin{cases} 2\alpha + 5\gamma = 0,\\\ \alpha + \gamma = 0,\\\ \beta + 2\gamma = 0,\\\\ 2\alpha + 4\gamma = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
\alpha + \gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = -\gamma.
Substituindo na primeira:
2(-\gamma) + 5\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad 3\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \gamma = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = 0.
Da terceira equação:
\beta + 2\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = 0.
A quarta é então satisfeita automaticamente.

Passo 4

Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, não existe combinação linear não trivial que anule esses vetores. Logo, S é linearmente independente.

Resposta

O conjunto S é LI (linearmente independente).

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