Verifique que \mathbb{R}^{3} é a soma direta de U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+y+z=0\right\} e W=\{(x, y, z) \in \left.\mathbb{R}^{3} / x=y=0\right\}.

Passo 1

O enunciado define os subespaços de \mathbb{R}^3 U = \{(x,y,z)\mid x+y+z=0\},
W = \{(x,y,z)\mid x=0,\;y=0\}=\{(0,0,t)\mid t\in\mathbb{R}\},
e pede para mostrar que
\mathbb{R}^3 = U \oplus W,
isto é, que U+W=\mathbb{R}^3 e U\cap W=\{0\}.

Passo 2

(Provar U+W=\mathbb{R}^3.) Seja um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Queremos escrever
(x,y,z)=u+w
com u\in U e w\in W. Como W=\{(0,0,t)\}, escolha
w=(0,0,t),\quad u=(x,y,z)-(0,0,t)=(x,y,z-t).
Para que u\in U é necessário
x+y+(z-t)=0\;\Longrightarrow\;t = x+y+z.
Logo
w=(0,0,x+y+z)\in W,
u=(x,y,z-(x+y+z))=(x,y,-x-y)\in U,
e de fato u+w=(x,y,z). Assim, todo vetor de \mathbb{R}^3 é soma de um de U e um de W, isto é U+W=\mathbb{R}^3.

Passo 3

(Provar U\cap W=\{0\}.) Seja v\in U\cap W. Então v\in W implica v=(0,0,t) para algum t, e v\in U implica
0+0+t=0\;\Longrightarrow\;t=0.
Portanto v=(0,0,0). Logo U\cap W=\{0\}.

Resposta

Como U+W=\mathbb{R}^3 e U\cap W=\{0\}, conclui-se que
\mathbb{R}^3 = U \oplus W.

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