Verifique se ( 1,1,1,1 ) pertence ao espaço gerado por \{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\}.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor (1,1,1,1) pertence ao espaço gerado pelo conjunto \{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\}.
Informações dadas:
Vetor gerador v_1 = (1,0,1,0).
Vetor gerador v_2 = (0,1,0,1).
Vetor a testar w = (1,1,1,1).
A pergunta explícita: existe uma combinação linear de v_1 e v_2 que resulta em w?
Passo 2
O que significa “pertencer ao espaço gerado”?
O espaço gerado por \{v_1,v_2\}, denotado \text{span}\{v_1,v_2\}, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear
a\,v_1 + b\,v_2
onde a e b são escalares (números reais).
Aqui a e b são incógnitas que devemos encontrar. Se existirem a,b tais que a combinação acima seja igual a w, então w pertence ao espaço gerado.
Passo 3
Escrevendo a condição de pertença como equação vetorial:
a\,(1,0,1,0) + b\,(0,1,0,1) = (1,1,1,1).
Agora vamos desenvolver o lado esquerdo componente a componente.
Portanto a igualdade com w\) vira a igualdade de vetores
\[(a,b,a,b) = (1,1,1,1).
Igualando componente a componente obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} a = 1,\\[4pt] b = 1,\\[4pt] a = 1,\\[4pt] b = 1. \end{cases}
As duas primeiras já determinam a\] e \(b; as outras são repetidas (consistentes).]
Passo 5
Solução do sistema: a = 1 e b = 1. Como existe solução, concluímos que w é combinação linear de v_1 e v_2.
Escrita explícita da decomposição:
(1,1,1,1) = 1\cdot(1,0,1,0) + 1\cdot(0,1,0,1).
Observação didática extra (útil na prova): os vetores geradores produzem todos os vetores da forma (a,b,a,b). Um teste rápido para ver se um vetor pertence ao span é verificar se a primeira componente iguala a terceira e a segunda iguala a quarta. Por exemplo, (1,0,0,0) não pertence porque 1 \neq 0.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre escreva a v_1 + b v_2 = w, desenvolva componentes, e resolva o pequeno sistema. Se for consistente, o vetor pertence; se não for, não pertence. Isso funciona para qualquer número de geradores (às vezes será necessário resolver um sistema maior, possivelmente por eliminação).