1. Verifique se (1,2,3) pertence a \operatorname{Span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor (1,2,3) pertence ao subespaço gerado pelos vetores (1,0,1) e (0,1,1), ou seja, se (1,2,3) está em \operatorname{Span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
Informações dadas:
v=(1,2,3),\quad v_1=(1,0,1),\quad v_2=(0,1,1).
Pergunta explícita:
  • Existe escalares a e b tais que a v_1 + b v_2 = v?

Passo 2

Lembrete do conceito (rápido e prático): \operatorname{Span}\{v_1,v_2\} é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear
a v_1 + b v_2,
onde a e b são números reais (escalars). Para testar se v pertence ao span, basta tentar encontrar a e b que satisfaçam essa igualdade. Se existir solução, então pertence; se não existir, não pertence.

Passo 3

Escrevendo a condição de combinação linear para este caso:
a(1,0,1)+b(0,1,1)=(1,2,3).
Agora desenvolve componente a componente. A soma dos vetores no lado esquerdo é
(a\cdot1 + b\cdot0,\; a\cdot0 + b\cdot1,\; a\cdot1 + b\cdot1).
Igualando componente a componente com (1,2,3) obtemos o sistema linear
\begin{cases} a = 1,\\[4pt] b = 2,\\[4pt] a + b = 3. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema obtido. Das duas primeiras equações já temos diretamente
a=1\qquad\text{e}\qquad b=2.
Substituir na terceira equação para checar consistência:
a+b = 1+2 = 3,
que coincide com o valor exigido. Logo o sistema é consistente e as incógnitas têm solução a=1 e b=2.

Passo 5

Interpretação do resultado (como usar na prova): como existem escalares a e b que satisfazem a v_1 + b v_2 = v, concluímos que v pertence ao \operatorname{Span}\{v_1,v_2\}. Na prova, o procedimento é sempre esse: escrever a combinação linear com incógnitas, igualar componentes e resolver o sistema; se for consistente, pertence.
Dica prática rápida: às vezes dá para ver direto pelas componentes (a primeira componente dá a, a segunda dá b, e a terceira é uma verificação), como aqui — isso acelera no exame.

Resposta

Sim. (1,2,3)=1\cdot(1,0,1)+2\cdot(0,1,1).