Verifique se os pontos:
a) A(0,2), B(-3,1) e C(4,5) estão alinhados
b) A(-1,3), B(2,4) e C(-4,10) podem ser vértices de um mesmo triângulo

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos dois pedidinhos:
a) Verificar se os pontos A(0,2), B(-3,1) e C(4,5) estão alinhados.
b) Verificar se os pontos A(-1,3), B(2,4) e C(-4,10) podem ser vértices de um mesmo triângulo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente, a ideia de colinearidade de pontos e as propriedades dos triângulos. Vamos precisar calcular inclinações de retas e verificar se as retas formadas pelos pontos são paralelas ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): verificar se os pontos A(0,2), B(-3,1) e C(4,5) estão alinhados.
Para isso, vamos checar se a inclinação da reta AB é igual à inclinação da reta BC. Se as inclinações forem iguais, os três pontos estão na mesma reta, ou seja, são colineares.
A inclinação de uma reta que passa pelos pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:
(x1, y1)
Vamos calcular a inclinação de AB e de BC.

Passo 3

Calculando a inclinação da reta AB:
Ponto A: (0,2)
Ponto B: (-3,1)
mAB = 1 - 2-3 - 0 = -1-3 = 13
Agora, calculando a inclinação da reta BC:
Ponto B: (-3,1)
Ponto C: (4,5)
mBC = 5 - 14 - (-3) = 47

Passo 4

Compare as inclinações $ m_{AB} $ e $ m_{BC} $:
mAB
Como $ \frac{1}{3} \neq \frac{4}{7} $, as inclinações são diferentes. Portanto, os pontos A, B e C não estão alinhados.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): verificar se os pontos A(-1,3), B(2,4) e C(-4,10) podem ser vértices de um mesmo triângulo.
Para que três pontos formem um triângulo, eles não devem estar alinhados. Ou seja, eles devem ser não colineares. Vamos usar o mesmo método: calcular as inclinações das retas AB e BC e verificar se são diferentes.

Passo 6

Calculando a inclinação da reta AB:
Ponto A: (-1,3)
Ponto B: (2,4)
mAB = 4 - 32 - (-1) = 13
Agora, calculando a inclinação da reta BC:
Ponto B: (2,4)
Ponto C: (-4,10)
mBC = 10 - 4-4 - 2 = 6-6 = -1

Passo 7

Compare as inclinações $ m_{AB} $ e $ m_{BC} $:
mAB
Como $ \frac{1}{3} \neq -1 $, as inclinações são diferentes. Portanto, os pontos A, B e C não estão alinhados e podem formar um triângulo.

Resposta

a) Os pontos A(0,2), B(-3,1) e C(4,5) não estão alinhados.
b) Os pontos A(-1,3), B(2,4) e C(-4,10) podem ser vértices de um mesmo triângulo.

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