Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y)=(x, y, x-y).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y)=(x,y,x-y).
O que se pede:
Verificar se T é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora).
Caso haja inversa (no sentido pedido), determinar a transformação inversa.
Vamos recordar de forma simples os conceitos (sem pular etapas):
Uma transformação linear T é injetora se vetores diferentes no domínio têm imagens diferentes. Equivalentemente, T é injetora se e somente se o núcleo (kernel) de T é apenas o vetor nulo:
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^2 : T(v)=0\}=\{0\}.
T é sobrejetora se a imagem (alcance) de T for todo o contradomínio:
T é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Se for bijetora, existe a inversa T^{-1}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2. Se for apenas injetora, existe inversa restrita de \operatorname{Im}(T) para \mathbb{R}^2.
Passo 3
Testando injetividade via núcleo. Procuramos todos (x,y)\in\mathbb{R}^2\) tais que \(T(x,y)=(0,0,0)\). Escrevendo as componentes:
\[T(x,y)=(x,y,x-y)=(0,0,0)
Das duas primeiras equações já obtemos x=0\] e \(y=0. A terceira equação x-y=0 é redundante (verifica-se automaticamente quando x=0 e y=0). Logo
\ker(T)=\{(0,0)\}.
Como o núcleo contém apenas o vetor nulo, concluímos que T é injetora.]
Passo 4
Testando sobrejetividade. Há duas maneiras simples e convincentes:
Método direto (contraexemplo): se T fosse sobrejetora, todo vetor de \mathbb{R}^3 teria a forma (x,y,x-y). Considere por exemplo o vetor (0,0,1)\in\mathbb{R}^3. Se existisse (x,y) tal que T(x,y)=(0,0,1), então pelas duas primeiras coordenadas teríamos x=0 e y=0, e a terceira coordenada seria x-y=0, contradizendo a necessidade de ser 1. Portanto (0,0,1) não está na imagem de T. Assim, T não é sobrejetora.
Argumento pela dimensão (intuição linear): o domínio \mathbb{R}^2 tem dimensão 2, logo a imagem linear de T tem dimensão no máximo 2. Mas o contradomínio \mathbb{R}^3 tem dimensão 3. Não é possível que um subespaço de dimensão \le 2 seja todo \mathbb{R}^3 (que tem dimensão 3). Logo T não é sobrejetora.
Passo 5
Conclusão sobre bijetividade: T é injetora e não é sobrejetora. Portanto T não é bijetora como função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3. Consequência prática: não existe uma inversa T^{-1}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida em todo o \mathbb{R}^3.
No entanto, por ser injetora, T é um isomorfismo entre \mathbb{R}^2 e a imagem \operatorname{Im}(T)\subset\mathbb{R}^3. Vamos descrever \operatorname{Im}(T) explicitamente: todo vetor da forma T(x,y) tem coordenadas (x,y,x-y), então os vetores da imagem satisfazem a relação linear
w = u - v
se escrevemos um vetor genérico de \mathbb{R}^3 como (u,v,w). Logo
Determinar a inversa quando restringimos o contradomínio à imagem. Seja (u,v,w)\in\operatorname{Im}(T). Pela definição de imagem existe (x,y) tal que
(u,v,w)=T(x,y)=(x,y,x-y).
Comparando coordenadas temos u=x e v=y. Portanto a inversa T^{-1}:\operatorname{Im}(T)\to\mathbb{R}^2 é dada por
T^{-1}(u,v,w)=(u,v),
válida somente para vetores (u,v,w) que satisfazem w=u-v. Vamos verificar as composições para ficar cristalino:
Para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T^{-1}(T(x,y))=T^{-1}(x,y,x-y)=(x,y),
logo T^{-1}\circ T é a identidade em \mathbb{R}^2.
Para qualquer (u,v,w)\in\operatorname{Im}(T),
T(T^{-1}(u,v,w))=T(u,v)=(u,v,u-v)=(u,v,w),
logo T\circ T^{-1} é a identidade em \operatorname{Im}(T).
Assim a fórmula T^{-1}(u,v,w)=(u,v) está correta como inversa restrita à imagem.
Resposta
T é injetora e não é sobrejetora, portanto não é bijetora.
Não existe inversa T^{-1}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2.
A inversa definida em \operatorname{Im}(T)=\{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3:w=u-v\} é T^{-1}(u,v,w)=(u,v).