Verifique o seguinte caso: suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma indústria é de 0,10 polegada com desvio padrão de 0,01 polegadas. Um parafuso será considerado defeituoso se seu diâmetro for maior que 0,11 polegadas ou menor que 0,09 polegadas. Qual a porcentagem de parafusos defeituosos? Utilize a distribuição Normal de probabilidades. Assinale a alternativa correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre os diâmetros dos parafusos de uma fábrica. A média é de 0,10 polegadas e o desvio padrão é de 0,01 polegadas. Queremos descobrir qual a porcentagem de parafusos que são considerados defeituosos, ou seja, que têm diâmetro menor que 0,09 polegadas ou maior que 0,11 polegadas. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Normal, que nos ajuda a calcular probabilidades em torno de uma média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal. É uma curva que mostra como os valores estão distribuídos em torno da média. A maioria dos valores fica perto da média, e quanto mais nos afastamos, menos provavelmente encontramos valores extremos. O desvio padrão nos mostra o quão “espalhados” os valores estão.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites para ser defeituoso:
  • Menor que 0,09 polegadas
  • Maior que 0,11 polegadas
Queremos saber a probabilidade de um parafuso cair fora desses limites.

Passo 4

Para isso, usamos o z-score, que padroniza nossos valores para a distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula é:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos analisar
  • $ \mu $ é a média (0,10)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (0,01)

Passo 5

Calculando os z-scores para os dois limites:
Para 0,09 polegadas:
z1 = 0,09 - 0,100,01 = -0,010,01 = -1
Para 0,11 polegadas:
z2 = 0,11 - 0,100,01 = 0,010,01 = 1

Passo 6

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses z-scores.
  • A probabilidade de $ z < -1 $ é aproximadamente 15,87%.
  • A probabilidade de $ z > 1 $ também é aproximadamente 15,87%.

Passo 7

Como queremos a probabilidade de ser menor que 0,09 ou maior que 0,11, somamos essas duas probabilidades:
15,87% + 15,87% = 31,74%

Resposta

Aproximadamente 31,7% dos parafusos são defeituosos.

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