Verifique o seguinte caso: suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma indústria é de 0,10 polegada com desvio padrão de 0,01 polegadas. Um parafuso será considerado defeituoso se seu diâmetro for maior que 0,11 polegadas ou menor que 0,09 polegadas. Qual a porcentagem de parafusos defeituosos? Utilize a distribuição Normal de probabilidades. Assinale a alternativa correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre os diâmetros dos parafusos de uma fábrica. A média é de 0,10 polegadas e o desvio padrão é de 0,01 polegadas. Queremos descobrir qual a porcentagem de parafusos que são considerados defeituosos, ou seja, que têm diâmetro menor que 0,09 polegadas ou maior que 0,11 polegadas. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Normal, que nos ajuda a calcular probabilidades em torno de uma média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal. É uma curva que mostra como os valores estão distribuídos em torno da média. A maioria dos valores fica perto da média, e quanto mais nos afastamos, menos provavelmente encontramos valores extremos. O desvio padrão nos mostra o quão “espalhados” os valores estão.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites para ser defeituoso:
- Menor que 0,09 polegadas
- Maior que 0,11 polegadas
Queremos saber a probabilidade de um parafuso cair fora desses limites.
Passo 4
Para isso, usamos o z-score, que padroniza nossos valores para a distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos analisar
- $ \mu $ é a média (0,10)
- $ \sigma $ é o desvio padrão (0,01)
Passo 5
Calculando os z-scores para os dois limites:
Para 0,09 polegadas:
Para 0,11 polegadas:
Passo 6
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses z-scores.
- A probabilidade de $ z < -1 $ é aproximadamente 15,87%.
- A probabilidade de $ z > 1 $ também é aproximadamente 15,87%.
Passo 7
Como queremos a probabilidade de ser menor que 0,09 ou maior que 0,11, somamos essas duas probabilidades:
Resposta
Aproximadamente 31,7% dos parafusos são defeituosos.