Verifique se os seguintes sistemas são causais:
y(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\lambda) d \lambda

Passo 1

O sistema é dado por \displaystyle y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\lambda)\,d\lambda.
A matéria aqui é verificar causalidade em sistemas de tempo contínuo: queremos saber se, em cada instante t_0, a saída depende apenas de valores passados ou presentes da entrada.

Passo 2

Por definição, um sistema é causal se, para todo t_0, \,y(t_0) depende somente de x(\tau) com \tau\le t_0.
Isso impede qualquer influência de valores futuros \tau>t_0 da entrada sobre a saída em t_0.

Passo 3

No nosso caso, para um instante arbitrário t_0:
y(t_0)=\int_{-\infty}^{t_0}x(\lambda)\,d\lambda
a integral envolve apenas \lambda\le t_0. Não há referência a \lambda>t_0, ou seja, não há dependência de valores futuros de x.

Resposta

O sistema é causal.

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