Verifique se os seguintes sistemas são causais:
y(t)=x(t-5)-x(3-t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y(t)=x(t-5)\;-\;x(3-t)
e pede para verificar se ele é causal. Um sistema é causal se, para todo instante t_{0}, a saída y(t_{0}) depender apenas de valores de entrada x(\tau) com \tau\le t_{0}.

Passo 2

Analisando o primeiro termo x(t-5): para qualquer t_{0}, a entrada utilizada é
\tau_{1}=t_{0}-5,
e temos \tau_{1}\le t_{0} para todo t_{0}. Logo, esse termo é causal.

Passo 3

Analisando o segundo termo x(3-t): para cada instante t_{0}, a entrada utilizada é
\tau_{2}=3-t_{0}.
Para ser causal precisamos de \tau_{2}\le t_{0}, ou seja,
3 - t_{0} \le t_{0} \quad\Longleftrightarrow\quad t_{0}\ge \tfrac{3}{2}.
Isso significa que somente a partir de t_{0}=\tfrac{3}{2} esse termo usa passado ou presente de x. Para t_{0}<\tfrac{3}{2} temos \tau_{2}>t_{0}, ou seja, depende de valores futuros de x.

Passo 4

Como existe intervalo t<\tfrac{3}{2} em que o sistema precisa de x em instantes \tau>t, ele não é causal.

Resposta

O sistema não é causal.

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