Verifique se os seguintes sistemas são invariantes no tempo:
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema descrito pela equação
e pede para verificar se ele é invariante no tempo. Para isso, vamos usar a definição de invariância: se para toda entrada
com resposta
o sistema satisfaz
então o sistema é invariante no tempo.
Passo 2
Seja
uma versão deslocada da entrada e seja
a resposta do sistema à entrada
. Proponho como resposta ao sinal deslocado
Passo 3
Calculo a derivada de
:
Então, no lado esquerdo da equação do sistema com entrada
, tenho
Mas da equação original sabemos que para todo argumento
Substituindo
vem
Logo
satisfaz exatamente a equação do sistema com entrada
.
Passo 4
Vimos que a resposta ao sinal deslocado
é justamente
. Isso mostra que o sistema satisfaz a definição de invariância no tempo.
Resposta
O sistema
é invariante no tempo.