Verifique se os seguintes sistemas são invariantes no tempo:
t \frac{d y(t)}{d t}-a y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema descrito por
t \frac{d y(t)}{d t} - a\,y(t) = x(t)
é invariante no tempo.
Em outras palavras, queremos saber se deslocar o sinal de entrada em \tau implica apenas num deslocamento de \tau na saída, sem alterar a forma da equação.

Passo 2

Suponha que com a entrada x(t) a saída seja y(t). Considere agora a entrada deslocada
x_1(t) = x(t - \tau).
Se o sistema fosse invariante no tempo, a saída correspondente deveria ser
y_1(t) = y(t - \tau).
Vamos ver se \;y_1(t)=y(t-\tau)\; satisfaz a mesma equação com x_1(t).

Passo 3

Substituindo y_1 na equação do sistema, temos
t\,\frac{d y_1(t)}{dt} - a\,y_1(t) = t\,\frac{d}{dt}\bigl[y(t-\tau)\bigr] - a\,y(t-\tau).
Como
\frac{d}{dt}\bigl[y(t-\tau)\bigr] = y'\bigl(t-\tau\bigr),
o lado esquerdo fica
t\,y'\bigl(t-\tau\bigr) \;-\; a\,y(t-\tau).
Por outro lado, para a saída não deslocada vale
(t-\tau)\,y'\bigl(t-\tau\bigr)\;-\;a\,y(t-\tau)=x(t-\tau).
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t\,y'\bigl(t-\tau\bigr)-a\,y(t-\tau) =(t-\tau)\,y'\bigl(t-\tau\bigr)-a\,y(t-\tau) +\tau\,y'\bigl(t-\tau\bigr) = x(t-\tau) + \tau\,y'\bigl(t-\tau\bigr).
Isso difere de x_1(t)=x(t-\tau) por causa do termo extra \tau\,y'(t-\tau). Portanto a condição de invariância não se satisfaz.

Resposta

O sistema não é invariante no tempo.

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