Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
a_{n}=\frac{1}{n} \operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{n^{2}+1}\right);

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{1}{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{n^{2}+1}\right)
e pede para verificar se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{N}.
  • O termo envolve \operatorname{sen} (ou seja, \sin) de uma expressão que depende de n.
  • A pergunta é: \emph{limite quando n\to\infty}.

Passo 2

Analisar o argumento do seno. Note que para todo n\ge1 vale
0<\frac{3\pi}{n^{2}+1}\le\frac{3\pi}{n^{2}}.
Como n^{2}\to\infty quando n\to\infty, então
\frac{3\pi}{n^{2}+1}\to 0.
Ou seja, o ângulo dentro do \sin tende a zero quando n\to\infty.

Passo 3

Lembrar uma desigualdade útil para \sin: para todo x\in\mathbb{R} vale
|\sin x|\le |x|.
Esta desigualdade é padrão e pode ser vista geometricamente ou via séries; a ideia informal é que, para ângulos pequenos, o seno não ultrapassa o próprio ângulo (medido em radianos). Aqui o argumento do seno é positivo e tende a zero, então podemos usar a desigualdade sem problemas.

Passo 4

Aplicar a desigualdade ao termo a_n. Para todo n\ge1,
|a_{n}|=\frac{1}{n}\left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{n^{2}+1}\right)\right| \le\frac{1}{n}\cdot\frac{3\pi}{n^{2}+1}.
Usando que n^{2}+1\ge n^{2} obtemos a estimativa mais simples
|a_{n}|\le\frac{1}{n}\cdot\frac{3\pi}{n^{2}}=\frac{3\pi}{n^{3}}.

Passo 5

Calcular o limite da cota superior \dfrac{3\pi}{n^{3}}. Como n^{3}\to\infty quando n\to\infty, segue que
\frac{3\pi}{n^{3}}\to 0.

Passo 6

Aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Temos para todo n
-\frac{3\pi}{n^{3}}\le a_{n}\le\frac{3\pi}{n^{3}},
e os dois termos extremos tendem a 0. Pelo Teorema do Confronto, a sequência a_{n} também tende a 0. Além disso, da estimativa obtida percebe-se que a_n=O(1/n^{3}), ou seja, converge bastante rápido para zero.

Passo 7

Conclusão final: a sequência converge e seu limite é 0. Força aí nos estudos — essa é uma técnica que cai muito em provas: usar |\sin x|\le|x| e teorema do confronto para termos com \sin e n\to\infty.

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