Verifique se as séries abaixo convergem: \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{n}{10}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em especial o teste da raiz e o teste do termo geral.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da raiz na série absoluta. Seja \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}.
Calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|} \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{n}{10} \;=\;\infty.
Como L>1, a série não converge absolutamente.
Passo 3
Além disso, observe que \bigl|a_{n}\bigr|=(n/10)^{n}\to\infty,
logo a_{n} não tende a zero. Pelo teste do termo geral, se os termos não vão a zero a série não pode convergir, nem mesmo condicionalmente.