Verifique se o sistema $\left\{\begin{array}{l}x=-y+z \\\ x=y+t \\\ x=2-t \\\ y=t+z\end{array}\right.$ admite soluções próprias.

O enunciado pede para verificar se o sistema

\begin{cases} x = -y + z,\\\ x = y + t,\\\ x = 2 - t,\\\ y = t + z \end{cases}

admite soluções próprias. Trata-se de um sistema linear com quatro incógnitas

(x,y,z,t)

e quatro equações. Vamos usar equivalências e substituições para checar a consistência.

Igualando as duas primeiras expressões de

x

, temos

-y + z = y + t

que implica

2y + t - z = 0.

Igualando a segunda e a terceira expressão de

x

, obtemos

y + t = 2 - t

ou seja

y + 2t = 2.

Da quarta equação extraímos

z

em função de

y

t

y = t + z \quad\Longrightarrow\quad z = y - t.

Substituindo

z = y - t

na relação

2y + t - z = 0

do passo 2, vem

2y + t - (y - t) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y + 2t = 0.

Isso contrasta com a equação

y + 2t = 2

do passo 3. Há, portanto, uma contradição, e o sistema é incompatível.

O sistema não admite soluções próprias (é incompatível).

Verifique se o sistema \left\{\begin{array}{l}x=-y+z \\\ x=y+t \\\ x=2-t \\\ y=t+z\end{array}\right. admite soluções próprias.