Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
y' + 2 x y^2 = 0 Condição inicial: y(0) = 1, x ∈ ]-1, 1[
Solução proposta: y = 1 / (x^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se uma solução proposta resolve uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) específica e se ela satisfaz a condição inicial dada. A EDO que temos é:
E a condição inicial é:
A solução proposta para essa EDO é:
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre derivadas e substituição em equações diferenciais, para verificar se essa solução realmente funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a solução proposta satisfaz a EDO. Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a e substituir na equação.
A solução proposta é:
Vamos calcular a derivada de :
Usando a regra da derivada de uma função do tipo , onde , temos:
Calculando :
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora vamos substituir e na EDO original para ver se a equação se mantém verdadeira.
A EDO é:
Substituindo e :
Simplificando:
O que resulta em:
Isso confirma que a solução proposta satisfaz a EDO.

Passo 4

Agora vamos verificar se a solução proposta também atende à condição inicial .
Substituindo na solução:
Mas a condição inicial é , e obtivemos . Isso significa que a solução proposta não satisfaz a condição inicial.

Resposta

A solução proposta satisfaz a Equação Diferencial dada, mas não atende à condição inicial . Portanto, não é uma solução válida para o problema apresentado.

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