Verifique se W é um sub-espaço vetorial de V nos casos:
\mathrm{W}=\left\{(\dot{\mathrm{x}}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \in \mathbf{R}^{3} ; \mathrm{y}=0\right\} e \mathrm{V}=\mathbf{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço ambiente é V=\mathbf{R}^3.
  • O subconjunto é W=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \mid y=0\}.
O que se pede: verificar se W é um subespaço vetorial de V. Ou seja, preciso checar as propriedades que definem subespaço para o conjunto W.

Passo 2

Lembrete (definição e estratégia): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial iff (se e somente se) as três condições valem:
  1. W é não vazio (equivalentemente: contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbf{R} então \alpha u\in W.
Explicando cada condição de forma simples:
  • “Contém o vetor zero” significa que (0,0,0) deve satisfazer a condição que define W.
  • “Fechado sob adição” significa que somar dois vetores que têm a segunda coordenada zero deve resultar num vetor com segunda coordenada zero.
  • “Fechado sob escalar” significa que multiplicar um vetor com segunda coordenada zero por qualquer \alpha deve manter a segunda coordenada igual a zero.

Passo 3

Verificar que W contém o vetor zero. O vetor zero em \mathbf{R}^3 é (0,0,0). A segunda coordenada desse vetor é 0, logo (0,0,0) satisfaz a condição y=0. Portanto (0,0,0)\in W e W é não vazio.

Passo 4

Fechamento por adição (passo a passo e didático).
  • Seja u\in W. Então podemos escrever u=(x_1,y_1,z_1) com y_1=0. Ou, de forma explícita, u=(x_1,0,z_1).
  • Seja v\in W. Então v=(x_2,y_2,z_2) com y_2=0, i.e. v=(x_2,0,z_2).
  • Calcule a soma:
u+v=(x_1,0,z_1)+(x_2,0,z_2)=(x_1+x_2,\;0+0,\;z_1+z_2).
  • A segunda coordenada de u+v é 0+0=0. Logo u+v=(x_1+x_2,0,z_1+z_2) pertence a W.
    Assim, W é fechado sob adição.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo e didático).
  • Seja u\in W com u=(x,0,z).
  • Seja \alpha\in\mathbf{R} qualquer escalar.
  • Calcule \alpha u:
\alpha u=\alpha(x,0,z)=(\alpha x,\;\alpha\cdot 0,\;\alpha z)=(\alpha x,0,\alpha z).
  • A segunda coordenada é \alpha\cdot 0=0, portanto \alpha u\in W para todo \alpha\in\mathbf{R}.
    Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão final: como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, todas as condições para ser subespaço vetorial de V=\mathbf{R}^3 são satisfeitas. Interpretação geométrica rápida: W é o plano xz (a "plano onde y=0"), que passa pela origem — isso é exatamente um subespaço.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de V=\mathbf{R}^3.