Verifique se
é um sub-espaço vetorial de
nos casos:
e
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço ambiente é
. - O subconjunto é
.
O que se pede: verificar se
é um subespaço vetorial de
. Ou seja, preciso checar as propriedades que definem subespaço para o conjunto
.
Passo 2
Lembrete (definição e estratégia): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial iff (se e somente se) as três condições valem:
-
é não vazio (equivalentemente: contém o vetor zero). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicando cada condição de forma simples:
- “Contém o vetor zero” significa que
deve satisfazer a condição que define . - “Fechado sob adição” significa que somar dois vetores que têm a segunda coordenada zero deve resultar num vetor com segunda coordenada zero.
- “Fechado sob escalar” significa que multiplicar um vetor com segunda coordenada zero por qualquer
deve manter a segunda coordenada igual a zero.
Passo 3
Verificar que
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. A segunda coordenada desse vetor é
, logo
satisfaz a condição
. Portanto
e
é não vazio.
Passo 4
Fechamento por adição (passo a passo e didático).
- Seja
. Então podemos escrever com . Ou, de forma explícita, . - Seja
. Então com , i.e. . - Calcule a soma:
- A segunda coordenada de
é . Logo pertence a .
Assim,é fechado sob adição.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo e didático).
- Seja
com . - Seja
qualquer escalar. - Calcule
:
- A segunda coordenada é
, portanto para todo .
Assim,é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão final: como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, todas as condições para ser subespaço vetorial de
são satisfeitas. Interpretação geométrica rápida:
é o plano
(a "plano onde
"), que passa pela origem — isso é exatamente um subespaço.
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
.