Verifique se o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
© W=(x, y, z) in R^3: x=4 y e z=0, V=R^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

O primeiro passo é verificar se o vetor zero está em x = 4y Rightarrow 0 = 4 times 0 = 0 . O vetor zero em z = 0 é . Substituindo na definição de :
Ambas as condições são satisfeitas, então o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos verificar se x1 = 4y1 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer x2 = 4y2 e z1 = 0 em z2 = 0 , a soma x1 + x2 = 4y1 + 4y2 = 4(y1 + y2) também deve estar em z1 + z2 = 0 + 0 = 0 .
Sabemos que em :
Então, na soma:
Portanto, satisfaz as condições de , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se x = 4y é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer vetor z = 0 em cx = c times 4y = 4(cy) e qualquer escalar cz = c times 0 = 0 , o vetor também deve estar em .
Sabemos que em :
Então, ao multiplicar por :
Portanto, também satisfaz as condições de , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial .

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