Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
©
e
©
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
O primeiro passo é verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na definição de
:
Ambas as condições são satisfeitas, então o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que em
:
Então, na soma:
Portanto,
satisfaz as condições de
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Sabemos que em
:
Então, ao multiplicar por
:
Portanto,
também satisfaz as condições de
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.