Verifique o Teorema da Divergência para o campo vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência (Gauss) para o campo vetorial dado. Informações do problema:
- O campo vetorial é
. - A verificação do Teorema da Divergência consiste em mostrar que, para um volume fechado
com fronteira orientada externamente ,
- Para facilitar a verificação vamos escolher um volume fechado simples compatível com coordenadas cilíndricas: um cilindro de raio
e altura , com base inferior em e superior em . É suficiente verificar para esse volume porque o Teorema da Divergência deve valer para qualquer volume bem comportado; o cilindro torna os cálculos diretos.
Passo 2
Calcular
em coordenadas cilíndricas. Primeiro, lembrar a fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas
:
onde
,
e
são as componentes do campo na base
. Aqui:
- a componente radial é
, - a componente azimutal é
, - a componente axial é
.
Aplicando a fórmula:
Calcule cada termo:
, então
. Dividindo por
dá
. E
. Portanto
Passo 3
Calcular o integral de volume da divergência sobre o cilindro
. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
. Assim
Simplificar o integrando:
. Calcule a integral em
:
Agora integrar em
e
:
Logo o integral de volume vale
Passo 4
Calcular o fluxo de
através da superfície fechada
do cilindro. A superfície
é a união de três partes: superfície lateral
(casca lateral a
), tampa superior
(em
) e tampa inferior
(em
). O fluxo total é soma das três contribuições:
- Superfície lateral
(normal externo , ).
No lateral. O produto escalar . Avaliando em dá . Portanto
- Tampa superior
(em , normal externo ).
Aqui. O produto escalar . Em temos . Então
Calcule
e
. Assim
- Tampa inferior
(em , normal externo é ).
Emtemos . Portanto o fluxo através da base inferior é
Somando as três contribuições:
Passo 5
Comparação final: o integral de volume da divergência (Passo 3) deu
e o fluxo através da superfície (Passo 4) deu o mesmo valor
Como os dois lados coincidem para o cilindro arbitrário escolhido (
quaisquer positivos), o Teorema da Divergência está verificado para o campo
.