Verifique o Teorema da Divergência para o campo vetorial:
\vec{A}=\hat{a}_{r} r^{2}+\hat{a}_{z} 2 z

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência (Gauss) para o campo vetorial dado. Informações do problema:
  • O campo vetorial é \vec{A}=\hat{a}_{r}\,r^{2}+\hat{a}_{z}\,2z.
  • A verificação do Teorema da Divergência consiste em mostrar que, para um volume fechado V com fronteira orientada externamente S=\partial V,
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV \;=\; \iint_{S} \vec{A}\cdot d\vec{S}.
  • Para facilitar a verificação vamos escolher um volume fechado simples compatível com coordenadas cilíndricas: um cilindro de raio R e altura H, com base inferior em z=0 e superior em z=H. É suficiente verificar para esse volume porque o Teorema da Divergência deve valer para qualquer volume bem comportado; o cilindro torna os cálculos diretos.

Passo 2

Calcular \nabla\cdot\vec{A} em coordenadas cilíndricas. Primeiro, lembrar a fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r F_r\big) + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z},
onde F_r, F_\theta e F_z são as componentes do campo na base \hat{a}_r,\hat{a}_\theta,\hat{a}_z. Aqui:
  • a componente radial é A_r=r^{2},
  • a componente azimutal é A_\theta=0,
  • a componente axial é A_z=2z.
Aplicando a fórmula:
\nabla\cdot\vec{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\cdot r^{2}\big) + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(2z).
Calcule cada termo: r\cdot r^{2}=r^{3}, então \dfrac{\partial}{\partial r}(r^{3})=3r^{2}. Dividindo por r 3r. E \dfrac{\partial}{\partial z}(2z)=2. Portanto
\nabla\cdot\vec{A}=3r+2.

Passo 3

Calcular o integral de volume da divergência sobre o cilindro V. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Assim
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV = \int_{z=0}^{H}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} (3r+2)\; r\,dr\,d\theta\,dz.
Simplificar o integrando: (3r+2)r = 3r^{2}+2r. Calcule a integral em r:
\int_{0}^{R} (3r^{2}+2r)\,dr = \left[ r^{3} + r^{2} \right]_{0}^{R} = R^{3}+R^{2}.
Agora integrar em \theta e z:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,\qquad \int_{0}^{H} dz = H.
Logo o integral de volume vale
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV = 2\pi \, H \, (R^{3}+R^{2}).

Passo 4

Calcular o fluxo de \vec{A} através da superfície fechada S do cilindro. A superfície S é a união de três partes: superfície lateral S_{1} (casca lateral a r=R), tampa superior S_{2} (em z=H) e tampa inferior S_{3} (em z=0). O fluxo total é soma das três contribuições:
\iint_{S} \vec{A}\cdot d\vec{S} = \Phi_{1}+\Phi_{2}+\Phi_{3}.
  1. Superfície lateral S_{1} (normal externo \hat{a}_{r}, r=R).
    No lateral d\vec{S}=\hat{a}_{r}\,dS=\hat{a}_{r}\,(R\,d\theta\,dz). O produto escalar \vec{A}\cdot\hat{a}_{r}=A_{r}=r^{2}. Avaliando em r=R R^{2}. Portanto
\Phi_{1}=\int_{0}^{H}\int_{0}^{2\pi} R^{2}\,(R\,d\theta\,dz) = R^{3}\int_{0}^{H}\int_{0}^{2\pi} d\theta\,dz = R^{3}\cdot 2\pi \cdot H = 2\pi H R^{3}.
  1. Tampa superior S_{2} (em z=H, normal externo \hat{a}_{z}).
    Aqui d\vec{S}=\hat{a}_{z}\,dS=\hat{a}_{z}\,(r\,dr\,d\theta). O produto escalar \vec{A}\cdot\hat{a}_{z}=A_{z}=2z. Em z=H temos A_{z}=2H. Então
\Phi_{2}=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} 2H\,(r\,dr\,d\theta) = 2H \left(\int_{0}^{R} r\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right).
Calcule \int_{0}^{R} r\,dr = \tfrac{1}{2}R^{2} e \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Assim
\Phi_{2}=2H \cdot \tfrac{1}{2}R^{2}\cdot 2\pi = 2\pi H R^{2}.
  1. Tampa inferior S_{3} (em z=0, normal externo é -\hat{a}_{z}).
    Em z=0 temos A_{z}=2z=0. Portanto o fluxo através da base inferior é
\Phi_{3} = \iint_{S_{3}} \vec{A}\cdot d\vec{S} = 0.
Somando as três contribuições:
\iint_{S} \vec{A}\cdot d\vec{S} = 2\pi H R^{3} + 2\pi H R^{2} + 0 = 2\pi H (R^{3}+R^{2}).

Passo 5

Comparação final: o integral de volume da divergência (Passo 3) deu
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV = 2\pi H (R^{3}+R^{2}),
e o fluxo através da superfície (Passo 4) deu o mesmo valor
\iint_{S} \vec{A}\cdot d\vec{S} = 2\pi H (R^{3}+R^{2}).
Como os dois lados coincidem para o cilindro arbitrário escolhido ( R,H quaisquer positivos), o Teorema da Divergência está verificado para o campo \vec{A}.

Resposta

\nabla\cdot\vec{A}=3r+2
\displaystyle \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV=\iint_{S}\vec{A}\cdot d\vec{S}=2\pi H\,(R^{3}+R^{2})

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