Dado o vetor \vec{V}=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k} :
a) Determine a magnitude de \vec{V}.
b) Encontre o vetor unitário \hat{u} na direção de \vec{V}.

Passo 1

O enunciado fornece o vetor \vec{V}=6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k} e pede duas coisas:
  • (a) a magnitude (norma) de \vec{V};
  • (b) o vetor unitário \hat{u} que tenha a mesma direção de \vec{V}.
Informações dadas:
  • Componentes de \vec{V}: V_x=6, V_y=-3, V_z=2.

Passo 2

Definição e fórmula da magnitude (norma) de um vetor em \mathbb{R}^3.
A magnitude (ou norma) de um vetor \vec{V}=(V_x,V_y,V_z) é dada por
\|\vec{V}\|=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}+V_z^{2}}.
Aqui:
  • \|\vec{V}\| significa "norma de \vec{V}";
  • V_x,V_y,V_z são as componentes do vetor nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor dado. Substituir V_x=6, V_y=-3, V_z=2:
\|\vec{V}\|=\sqrt{6^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}.
Calcule cada termo:
6^{2}=36,\qquad (-3)^{2}=9,\qquad 2^{2}=4.
Somando:
36+9+4=49.
Portanto
\|\vec{V}\|=\sqrt{49}=7.

Passo 4

Definição de vetor unitário na direção de \vec{V}.
O vetor unitário \hat{u} com a mesma direção de \vec{V} é obtido dividindo-se o vetor pela sua magnitude:
\hat{u}=\frac{\vec{V}}{\|\vec{V}\|}.
Na prática isto significa dividir cada componente de \vec{V} por \|\vec{V}\|.

Passo 5

Calcular \hat{u} usando \|\vec{V}\|=7. Dividindo cada componente:
\hat{u}=\frac{1}{7}\big(6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\big) =\frac{6}{7}\hat{i}-\frac{3}{7}\hat{j}+\frac{2}{7}\hat{k}.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para a prova): checar que \hat{u} tem norma 1.
Calcular a norma de \hat{u}:
\|\hat{u}\|=\sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^{2}+\left(-\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{36+9+4}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1.
Confere: é realmente um vetor unitário.

Resposta

\|\vec{V}\|=7
\hat{u}=\dfrac{6}{7}\hat{i}-\dfrac{3}{7}\hat{j}+\dfrac{2}{7}\hat{k}

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