Verifique o teorema da divergência de 
  tomado sobre uma região de contorno 
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar o Teorema da Divergência para o campo vetorial 
 , considerando a região delimitada pelo cilindro 
 , entre as alturas 
  e 
 . O Teorema da Divergência relaciona a integral de volume da divergência de um campo vetorial com a integral de superfície desse campo através da fronteira do volume. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência de 
 , fazer a integral de volume da divergência e também calcular a integral de superfície de 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por 
 , mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto. Para um campo 
 , a divergência é dada por:
Vamos calcular isso para o nosso 
 .
Passo 3
Vamos identificar as componentes de 
 :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Então, a divergência será:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região delimitada. Como a região é um cilindro circular de raio 2 e altura de 
  a 
 , é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é:
Substituindo a divergência na integral, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Vamos separar a integral em três partes:
Calculando cada uma:
- Primeira parte:
 
- Segunda parte:
 
Sabemos que 
 , então essa parte é zero.
- Terceira parte:
 
Somando as três partes:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície de 
  sobre a fronteira da região. A fronteira é composta por três partes: a base inferior (
 ), a base superior (
 ) e a lateral do cilindro (
 ). Vamos calcular a integral em cada uma dessas superfícies.
- 
Base inferior (
): - O vetor normal é para baixo, 
.  - 
.  - O fluxo é:
 
 - O vetor normal é para baixo, 
 - 
Base superior (
): - O vetor normal é para cima, 
.  - 
.  - O fluxo é:
 
 - O vetor normal é para cima, 
 - 
Lateral do cilindro (
): - O vetor normal na lateral é radial, 
.  - Em coordenadas cilíndricas, 
, .  - 
.  - O fluxo é:
Simplificando: (Sabemos que a integral de de 0 a é zero.)  
 - O vetor normal na lateral é radial, 
 
Somando os fluxos das três partes:
Resposta
Viu só? Tanto a integral de volume da divergência quanto a integral de superfície do campo vetorial resultaram em 
 . Isso confirma que o Teorema da Divergência está válido para o campo 
  na região especificada.