Verifique se a transformação
dada por
é linear.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para todos os vetores
e para todo escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Vamos começar verificando a propriedade da aditividade. Se considerarmos dois vetores qualquer em
, digamos
e
, então a soma desses vetores é
.
Passo 4
Aplicando a transformação
nesse vetor soma, temos:
Expandindo a multiplicação:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Então:
Passo 6
Comparando os resultados de
e
:
Percebe-se que
tem termos a mais (
), então a aditividade não é satisfeita.
Passo 7
Como a transformação não satisfaz a propriedade da aditividade, já podemos concluir que
não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a homogeneidade, pois já sabemos que a transformação falha em ser linear.
Resposta
A transformação
não é linear.