Verifique se a transformação T: R^2 longrightarrow R dada por T(x, y)=x y é linear.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se a transformação , definida por , é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para todos os vetores e para todo escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos começar verificando a propriedade da aditividade. Se considerarmos dois vetores qualquer em , digamos e , então a soma desses vetores é .

Passo 4

Aplicando a transformação T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) cdot (y1 + y2) nesse vetor soma, temos:
(x1 + x2)(y1 + y2) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2
Expandindo a multiplicação:

Passo 5

Agora, vamos calcular T(u) = x1 y1 :
T(v) = x2 y2
T(u) + T(v) = x1 y1 + x2 y2
Então:

Passo 6

Comparando os resultados de T(u + v) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 e T(u) + T(v) = x1 y1 + x2 y2 :
Percebe-se que tem termos a mais ( ), então a aditividade não é satisfeita.

Passo 7

Como a transformação não satisfaz a propriedade da aditividade, já podemos concluir que não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a homogeneidade, pois já sabemos que a transformação falha em ser linear.

Resposta

A transformação não é linear.

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