Verifique a validade do teorema da divergência para a densidade de corrente
considerando a região limitada por
e
, no octante positivo
.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de corrente
e pede para verificar a validade do Teorema da Divergência na região limitada por
e
, no octante positivo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A fronteira
é formada por: a superfície cilíndrica com e ; o plano (face lateral); e as faces sobre os planos coordenados , e (porque estamos no octante positivo). - O objetivo é comparar os dois lados do Teorema da Divergência:
mostrando que são iguais (ou seja, verificar a validade do teorema para este caso).
Passo 2
Apresento o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss) de forma clara: para um campo vetorial continuamente diferenciável
em um volume
com fronteira fechada
e normal exterior
,
Plano de verificação: (1) calcular
e fazer a integral tripla sobre
; (2) calcular explicitamente o fluxo
somando as contribuições de
; (3) comparar os resultados.
Passo 3
Calcular a divergência do campo. Usa-se a definição
onde
. Então
Portanto
Passo 4
Fazer a integral tripla
. Como a região é um cilindro de eixo em
com seção circular de raio
limitada ao primeiro quadrante
, é conveniente usar coordenadas polares no plano
:
e o elemento de volume é
. Substituindo,
Passo 5
Executar as integrais por partes (começando por
). Note que
. Assim a integral torna-se
Fatorando e calculando as integrais em
:
Logo o integrando em
dá
Agora integrar em
:
Portanto
Passo 6
Agora calcular o fluxo pela superfície fechada
, somando as contribuições de cada face:
(cilindro
),
(
),
(
),
(
) e
(
). O fluxo total é
Vou calcular cada termo separadamente, tomando cuidado com a direção da normal exterior.
Passo 7
Fluxo pela face
(plano
). A normal exterior é
. Em
temos
. Portanto
onde
. Em coordenadas polares no plano
(mesmas que usamos):
Passo 8
Fluxo pela superfície cilíndrica
(
com
,
). Parametrização conveniente:
Cálculo do vetor elemento de superfície (magnitude) dá
. A normal exterior unitária (apontando radialmente para fora) é
No cilindro,
, então
Assim
Multiplicando por
,
Calcule as integrais em
. Usando, por exemplo,
(pode-se obter pela identidade
e substituição
):
Integrando em
:
Portanto o fluxo através do cilindro é
.]
Passo 9
Calcular fluxos nas faces restantes
(
),
(
) e
(
):
- Em
(plano ) a normal exterior é . Mas avaliada em é , logo
- Em
(plano ) a normal exterior é . A componente anulase em , logo
- Em
(plano ) a normal exterior é . A componente anula-se em , logo
Passo 10
Somando todas as contribuições de fluxo pelas superfícies:
Comparando com o resultado da integral de volume obtida no Passo 5, temos
Portanto os dois lados coincidem.