- Verifique se os vetores
e
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá três vetores no espaço tridimensional:
O que o exercício pede: verificar se esses vetores são linearmente independentes (ou seja, decidir se há ou não uma combinação linear não trivial que resulte no vetor nulo).
Informações relevantes dadas:
- Os três vetores estão explicitamente fornecidos coordenada a coordenada.
- Não há mais condições ou parâmetros extras no enunciado.
Passo 2
Definição e plano de verificação (explicado devagarzinho).
- Dizemos que os vetores
são linearmente independentes se a única solução do sistema abaixo for a solução trivial (todas as constantes zero):
onde
são escalares (os coeficientes da combinação) e
é o vetor nulo.
- Se existir alguma solução com pelo menos um dos
, então os vetores são linearmente dependentes. - Estratégias práticas: procurar uma relação óbvia (por exemplo, um vetor sendo múltiplo escalar de outro) ou montar as equações coordenada a coordenada e resolver para os
. Vou mostrar as duas abordagens porque é bom aprender os dois jeitos.
Passo 3
Observação direta (o atalho que salva tempo na prova).
- Compare
com componente a componente: Ou seja, - Explicação didática: quando um vetor é um múltiplo escalar exato de outro (aqui
é exatamente duas vezes ), isso já garante dependência linear, porque dá para escrever uma combinação não trivial que some zero (por exemplo, ).
Passo 4
Exibir explicitamente uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.
- Tome
, e . Então - Calculando coordenada a coordenada:
- Como a combinação acima usa coeficientes nem todos nulos (por exemplo,
), encontramos uma solução não trivial da definição. Portanto os vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Verificação alternativa (montando as equações) — bom para treinar eliminação:
- Escrevendo
- Subtraindo a primeira equação da segunda: .
- Com
, a primeira equação vira , ou seja . Tomando livre (por exemplo ) obtemos , exatamente a combinação não trivial já exibida. - Conclusão desta verificação: existe infinitas soluções (parâmetro livre
), portanto dependência linear.]
Passo 6
Comentário extra útil para a prova (motivação e interpretação).
- A presença de
reduz o número máximo de vetores linearmente independentes dentre os três: no máximo dois podem ser independentes. Verificando e vemos que não são múltiplos um do outro (não existe tal que ), então é um conjunto independente e a dimensão do espaço gerado pelos três vetores é . - Dica prática para prova: ao ver vetores em que um parece ser proporcional a outro, pare e use isso — economiza tempo.
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes.