1. Verifique se os vetores \mathbf{v}_{1}=(1,2,3), \mathbf{v}_{2}=(2,4,6) e \mathbf{v}_{3}=(1,1,1) são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço tridimensional:
  • \mathbf{v}_{1}=(1,2,3)
  • \mathbf{v}_{2}=(2,4,6)
  • \mathbf{v}_{3}=(1,1,1)
O que o exercício pede: verificar se esses vetores são linearmente independentes (ou seja, decidir se há ou não uma combinação linear não trivial que resulte no vetor nulo).
Informações relevantes dadas:
  • Os três vetores estão explicitamente fornecidos coordenada a coordenada.
  • Não há mais condições ou parâmetros extras no enunciado.

Passo 2

Definição e plano de verificação (explicado devagarzinho).
  • Dizemos que os vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema abaixo for a solução trivial (todas as constantes zero):
\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\alpha_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0},
onde \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 são escalares (os coeficientes da combinação) e \mathbf{0}=(0,0,0) é o vetor nulo.
  • Se existir alguma solução com pelo menos um dos \alpha_i\neq0, então os vetores são linearmente dependentes.
  • Estratégias práticas: procurar uma relação óbvia (por exemplo, um vetor sendo múltiplo escalar de outro) ou montar as equações coordenada a coordenada e resolver para os \alpha_i. Vou mostrar as duas abordagens porque é bom aprender os dois jeitos.

Passo 3

Observação direta (o atalho que salva tempo na prova).
  • Compare \mathbf{v}_2 com \mathbf{v}_1 componente a componente: 2\cdot(1,2,3)=(2,4,6).Ou seja, \mathbf{v}_2=2\mathbf{v}_1.
  • Explicação didática: quando um vetor é um múltiplo escalar exato de outro (aqui \mathbf{v}_2 é exatamente duas vezes \mathbf{v}_1), isso já garante dependência linear, porque dá para escrever uma combinação não trivial que some zero (por exemplo, \mathbf{v}_2-2\mathbf{v}_1=\mathbf{0}).

Passo 4

Exibir explicitamente uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.
  • Tome \alpha_1=-2, \alpha_2=1 e \alpha_3=0. Então \alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\alpha_3\mathbf{v}_3 =-2\mathbf{v}_1+1\mathbf{v}_2+0\mathbf{v}_3.
  • Calculando coordenada a coordenada: -2(1,2,3)+(2,4,6)+(0,0,0)=(-2, -4, -6)+(2,4,6)=(0,0,0).
  • Como a combinação acima usa coeficientes nem todos nulos (por exemplo, \alpha_2=1\neq0), encontramos uma solução não trivial da definição. Portanto os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Verificação alternativa (montando as equações) — bom para treinar eliminação:
  • Escrevendo \alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\alpha_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}\) coordenada a coordenada obtém-se o sistema \[\begin{cases} \alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3=0,\\[4pt] 2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3=0,\\[4pt] 3\alpha_1+6\alpha_2+\alpha_3=0. \end{cases}
  • Subtraindo a primeira equação da segunda: (2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3)-2(\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3)=-\alpha_3=0\]. Logo \(\alpha_3=0.
  • Com \alpha_3=0, a primeira equação vira \alpha_1+2\alpha_2=0, ou seja \alpha_1=-2\alpha_2. Tomando \alpha_2 livre (por exemplo \alpha_2=1) obtemos \alpha_1=-2,\alpha_2=1,\alpha_3=0, exatamente a combinação não trivial já exibida.
  • Conclusão desta verificação: existe infinitas soluções (parâmetro livre \alpha_2), portanto dependência linear.]

Passo 6

Comentário extra útil para a prova (motivação e interpretação).
  • A presença de \mathbf{v}_2=2\mathbf{v}_1 reduz o número máximo de vetores linearmente independentes dentre os três: no máximo dois podem ser independentes. Verificando \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_3 vemos que não são múltiplos um do outro (não existe \lambda tal que \lambda(1,2,3)=(1,1,1)), então \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\} é um conjunto independente e a dimensão do espaço gerado pelos três vetores é 2.
  • Dica prática para prova: ao ver vetores em que um parece ser proporcional a outro, pare e use isso — economiza tempo.

Resposta

Os vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente dependentes.