Verifique que é um subespaço de . Em cada caso, suponha que tenha as operações usuais. é o conjunto de todas as matrizes de ordem da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a & b a - 2b & 0 0 & c é um subespaço de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes com as operações normais de soma e multiplicação por escalar. O conjunto é formado por matrizes dessa forma:
Para provar que é um subespaço, vamos precisar checar três coisas:
Se a matriz zero está em .
Se é fechado sob adição.
Se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a matriz zero está em 0 & 0 0 & 0 0 & 0 . A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero:
a & b a - 2b & 0 0 & c
Vamos comparar com a forma geral de :
Para que essa matriz seja zero, precisamos que:
Isso satisfaz todas as condições, então a matriz zero está em .
Passo 3
Agora, vamos checar se A = a1 & b1 a1 - 2b1 & 0 0 & c1 e B = a2 & b2 a2 - 2b2 & 0 0 & c2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer de A + B = a1 + a2 & b1 + b2 (a1 - 2b1) + (a2 - 2b2) & 0 + 0 0 + 0 & c1 + c2 = a1 + a2 & b1 + b2 (a1 + a2) - 2(b1 + b2) & 0 0 & c1 + c2 e somarmos, o resultado ainda está em .
Sejam duas matrizes de :
A soma é:
Perceba que a soma também está na forma requerida para , com , e . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se A = a & b a - 2b & 0 0 & c é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz de kA = ka & kb k(a - 2b) & 0 0 & kc = ka & kb (ka) - 2(kb) & 0 0 & kc por um número , o resultado ainda está em .
Seja uma matriz de :
Multiplicando por um escalar :
Novamente, o resultado está na forma necessária para , com , e . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é realmente um subespaço de .