Verifique: " x^{3}-6 x+2=0 \Rightarrow x^{5}+2 x^{2}-36 x+12=0."

Passo 1

O enunciado pede para verificar a implicação: se x satisfaz
x^{3}-6x+2=0,
então será verdade que
x^{5}+2x^{2}-36x+12=0?
Informações dadas:
  • A equação inicial é \;x^{3}-6x+2=0\;.
  • A expressão que devemos testar é \;x^{5}+2x^{2}-36x+12\;.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicando didaticamente): se \;x é tal que \;x^{3}-6x+2=0\;, então podemos reescrever \;x^{3}\; isolando da equação dada. Isso é permitido porque estamos supondo que x satisfaz a equação. Assim:
x^{3}=6x-2.
Isto significa que, sempre que aparecer x^{3} em uma expressão envolvendo esse x, podemos substituir por 6x-2.

Passo 3

Vamos calcular \;x^{4}\; usando \;x^{3}\;. Multiplicando ambos os lados por x:
x^{4}=x\cdot x^{3}=x\cdot(6x-2)=6x^{2}-2x.
Explicação: x^{4}=x\cdot x^{3} e substituímos \;x^{3}=6x-2; depois multiplicamos termo a termo.

Passo 4

Agora calculamos \;x^{5}\;. Podemos escrever \;x^{5}=x^{2}\cdot x^{3} e usar \;x^{3}=6x-2:
x^{5}=x^{2}\cdot(6x-2)=6x^{3}-2x^{2}.
Mas ainda aparece um x^{3} na direita; substituímos novamente \;x^{3}=6x-2:
x^{5}=6(6x-2)-2x^{2}=36x-12-2x^{2}.
Organizando os termos:
x^{5}=-2x^{2}+36x-12.

Passo 5

Agora avaliamos a expressão que queremos verificar, substituindo o valor de \;x^{5}:
x^{5}+2x^{2}-36x+12 = (-2x^{2}+36x-12) + 2x^{2}-36x+12.
Somando termo a termo:
(-2x^{2}+2x^{2}) + (36x-36x) + (-12+12) = 0+0+0 = 0.
Portanto, para qualquer x que satisfaça \;x^{3}-6x+2=0\;, a expressão \;x^{5}+2x^{2}-36x+12\; vale zero. Isso prova a implicação pedida.

Passo 6

Comentário alternativo (útil para a prova): a mesma verificação pode ser feita mostrando que a identidade polinomial é exata, i.e., que existe um polinômio quociente tal que
x^{5}+2x^{2}-36x+12=(x^{3}-6x+2)(x^{2}+6).
Para checar, expandir o produto:
(x^{3}-6x+2)(x^{2}+6)=x^{5}+6x^{3}-6x^{3}-36x+2x^{2}+12.
Cancelam-se 6x^{3}-6x^{3} e obtemos
x^{5}+2x^{2}-36x+12,
igual ao polinômio desejado. Assim o segundo polinômio é múltiplo do primeiro, o que implica que qualquer raiz do primeiro é raiz do segundo (e a identidade vale para todo x). Essa é uma prova forte e direta.

Resposta

Verdadeiro.

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