Verifique: "
."
Passo 1
O enunciado pede para verificar a implicação: se
satisfaz
então será verdade que
Informações dadas:
- A equação inicial é
. - A expressão que devemos testar é
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (explicando didaticamente): se
é tal que
, então podemos reescrever
isolando da equação dada. Isso é permitido porque estamos supondo que
satisfaz a equação. Assim:
Isto significa que, sempre que aparecer
em uma expressão envolvendo esse
, podemos substituir por
.
Passo 3
Vamos calcular
usando
. Multiplicando ambos os lados por
:
Explicação:
e substituímos
; depois multiplicamos termo a termo.
Passo 4
Agora calculamos
. Podemos escrever
e usar
:
Mas ainda aparece um
na direita; substituímos novamente
:
Organizando os termos:
Passo 5
Agora avaliamos a expressão que queremos verificar, substituindo o valor de
:
Somando termo a termo:
Portanto, para qualquer
que satisfaça
, a expressão
vale zero. Isso prova a implicação pedida.
Passo 6
Comentário alternativo (útil para a prova): a mesma verificação pode ser feita mostrando que a identidade polinomial é exata, i.e., que existe um polinômio quociente tal que
Para checar, expandir o produto:
Cancelam-se
e obtemos
igual ao polinômio desejado. Assim o segundo polinômio é múltiplo do primeiro, o que implica que qualquer raiz do primeiro é raiz do segundo (e a identidade vale para todo
). Essa é uma prova forte e direta.
Resposta
Verdadeiro.