Verifique que se y1(x) e y2(x) são soluções de y' + f(x) y = 0, então y(x) = A * y1(x) + B * y2(x) também é solução, para quaisquer A, B em R.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem dada por:
O exercício nos diz que e são soluções dessa equação. Queremos verificar se uma combinação linear dessas soluções, isto é, , também é uma solução, onde e são números reais quaisquer. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e propriedades de soluções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que e são soluções da equação diferencial. Isso quer dizer que, ao substituir cada uma na equação, a igualdade é satisfeita. Em outras palavras:

Passo 3

Agora, vamos considerar a combinação linear . Para verificar se também é uma solução, precisamos calcular a derivada de e substituir na equação diferencial.
Calculando a derivada de :

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial:
Podemos fatorar e :

Passo 5

Sabemos, pelas soluções dadas, que e . Portanto, substituindo essas igualdades:

Resposta

Assim, verificamos que também satisfaz a equação diferencial para quaisquer .

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