Verifique que se
e
são soluções de
, então
também é solução, para quaisquer
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem dada por:
O exercício nos diz que
e
são soluções dessa equação. Queremos verificar se uma combinação linear dessas soluções, isto é,
, também é uma solução, onde
e
são números reais quaisquer. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e propriedades de soluções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
e
são soluções da equação diferencial. Isso quer dizer que, ao substituir cada uma na equação, a igualdade é satisfeita. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, vamos considerar a combinação linear
. Para verificar se
também é uma solução, precisamos calcular a derivada de
e substituir na equação diferencial.
Calculando a derivada de
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial:
Podemos fatorar
e
:
Passo 5
Sabemos, pelas soluções dadas, que
e
. Portanto, substituindo essas igualdades:
Resposta
Assim, verificamos que
também satisfaz a equação diferencial
para quaisquer
.