O vetor v é ortogonal aos vetores a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3) e forma ângulo agudo com o eixo dos x. Determinar v, sabendo que |v|=14
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor v que é ortogonal aos vetores a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3). Além disso, v forma um ângulo agudo com o eixo dos x e tem módulo igual a 14. Nosso objetivo é determinar o vetor v. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e propriedades de vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, já que v é ortogonal a a e a b, isso significa que o produto escalar entre v e cada um desses vetores é igual a zero. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar as componentes de v.
Passo 3
Vamos chamar v de (x, y, z). Então, o produto escalar com a fica:
E com b:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos expressar x em termos de y:
Substituindo esse valor de x na equação (2):
Agora, temos x e z em função de y. Então, nosso vetor v fica:
Passo 5
Sabemos também que o módulo de v é 14. O módulo de um vetor (x, y, z) é dado por:
Substituindo as componentes de v:
Passo 6
Resolvendo para y:
Passo 7
Agora, substituindo y = 6 nas expressões de x e z:
Então, o vetor v é (-12, 6, -4).
Passo 8
Mas peraí, a gente precisa que o ângulo com o eixo x seja agudo. O ângulo é agudo quando o componente x é positivo, porque o cosseno do ângulo será positivo. Nosso x deu -12, que é negativo. Então, precisamos inverter o sinal de todas as componentes para que x seja positivo.
Então, o vetor correto é (12, -6, 4).
Resposta
O vetor v é (12, −6, 4).