O vetor v é ortogonal aos vetores a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3) e forma ângulo agudo com o eixo dos x. Determinar v, sabendo que |v|=14

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor v que é ortogonal aos vetores a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3). Além disso, v forma um ângulo agudo com o eixo dos x e tem módulo igual a 14. Nosso objetivo é determinar o vetor v. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e propriedades de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, já que v é ortogonal a a e a b, isso significa que o produto escalar entre v e cada um desses vetores é igual a zero. Ou seja:
v cdot a = 0 e v cdot b = 0
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar as componentes de v.

Passo 3

Vamos chamar v de (x, y, z). Então, o produto escalar com a fica:
x cdot 1 + y cdot 2 + z cdot 0 = 0 Rightarrow x + 2y = 0 (1)
E com b:
x cdot 1 + y cdot 4 + z cdot 3 = 0 Rightarrow x + 4y + 3z = 0 (2)

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos expressar x em termos de y:
x = -2y
Substituindo esse valor de x na equação (2):
-2y + 4y + 3z = 0 Rightarrow 2y + 3z = 0 Rightarrow z = -23y
Agora, temos x e z em função de y. Então, nosso vetor v fica:
v = ( -2y, ; y, ; -23y )

Passo 5

Sabemos também que o módulo de v é 14. O módulo de um vetor (x, y, z) é dado por:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Substituindo as componentes de v:
14 = raiz(-2y)^2 + y^2 + (-23y)^2 = raiz4y^2 + y^2 + 49y^2 = raiz36y^2 + 9y^2 + 4y^29 = raiz49y^29 = 7|y|3

Passo 6

Resolvendo para y:
7|y|3 = 14 Rightarrow |y| = 6 Rightarrow y = 6 (já que queremos um ângulo agudo com o eixo x) áâ

Passo 7

Agora, substituindo y = 6 nas expressões de x e z:
x = -2 cdot 6 = -12
z = -23 cdot 6 = -4
Então, o vetor v é (-12, 6, -4).

Passo 8

Mas peraí, a gente precisa que o ângulo com o eixo x seja agudo. O ângulo é agudo quando o componente x é positivo, porque o cosseno do ângulo será positivo. Nosso x deu -12, que é negativo. Então, precisamos inverter o sinal de todas as componentes para que x seja positivo.
Então, o vetor correto é (12, -6, 4).

Resposta

O vetor v é (12, −6, 4).

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