O vetor posição de uma partícula de massa 3,00 kg é dada pela função do tempo r(t)=4,0 t^2 i+(2,0 t+6,0 t^2) j em um plano x y, com r dado em metros e t em segundos. Em relação à origem, determine o momento angular da partícula como função do tempo

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 3,00 , kg que se move em um plano xy. A posição dessa partícula em função do tempo t é dada pelo vetor posição:
r(t) = 4,0 t^2 , i + (2,0 t + 6,0 t^2) , j
Queremos descobrir o momento angular dessa partícula em relação à origem, como uma função do tempo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de vetor posição, velocidade, quantidade de movimento e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular L é dado pela fórmula:
L = r times p
onde:
  • r é o vetor posição,
  • p é a quantidade de movimento.
A quantidade de movimento p é igual à massa m vezes a velocidade v:
p = m v
Então, para achar o momento angular, precisamos primeiro encontrar a velocidade da partícula.

Passo 3

A velocidade v é a derivada do vetor posição r(t) em relação ao tempo t. Vamos derivar cada componente de r(t):
r(t) = 4,0 t^2 , i + (2,0 t + 6,0 t^2) , j
Derivando em relação a t:
v(t) = dr(t)dt = 8,0 t , i + (2,0 + 12,0 t) , j
Então:
v(t) = 8,0 t , i + (2,0 + 12,0 t) , j

Passo 4

Agora que temos a velocidade, vamos calcular a quantidade de movimento p:
p(t) = m v(t) = 3,00 , kg times (8,0 t , i + (2,0 + 12,0 t) , j)
Multiplicando a massa pelos componentes da velocidade:
p(t) = 24,0 t , i + (6,0 + 36,0 t) , j

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento angular L usando a fórmula L = r times p. Para vetores no plano xy, o momento angular é um escalar dado por:
L(t) = x py - y px
Onde:
  • x e y são as componentes de r(t),
  • px e py são as componentes de p(t).
Vamos identificar essas componentes:
x = 4,0 t^2, y = 2,0 t + 6,0 t^2
px = 24,0 t, py = 6,0 + 36,0 t

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do momento angular:
L(t) = (4,0 t^2) times (6,0 + 36,0 t) - (2,0 t + 6,0 t^2) times (24,0 t)
Vamos multiplicar termo a termo:
Primeiro termo:
4,0 t^2 times (6,0 + 36,0 t) = 24,0 t^2 + 144,0 t^3
Segundo termo:
(2,0 t + 6,0 t^2) times 24,0 t = 48,0 t^2 + 144,0 t^3
Agora, subtraindo os dois resultados:
L(t) = (24,0 t^2 + 144,0 t^3) - (48,0 t^2 + 144,0 t^3) = -24,0 t^2

Resposta

O momento angular da partícula em relação à origem, como função do tempo, é:
L(t) = -24,0 , t^2 , kg cdot m^2/s

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