O vetor posição de uma partícula de massa
é dada pela função do tempo
em um plano
, com
dado em metros e
em segundos. Em relação à origem, determine o momento angular da partícula como função do tempo
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de
que se move em um plano
. A posição dessa partícula em função do tempo
é dada pelo vetor posição:
Queremos descobrir o momento angular dessa partícula em relação à origem, como uma função do tempo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de vetor posição, velocidade, quantidade de movimento e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular
é dado pela fórmula:
onde:
-
é o vetor posição, -
é a quantidade de movimento.
A quantidade de movimento
é igual à massa
vezes a velocidade
:
Então, para achar o momento angular, precisamos primeiro encontrar a velocidade da partícula.
Passo 3
A velocidade
é a derivada do vetor posição
em relação ao tempo
. Vamos derivar cada componente de
:
Derivando em relação a
:
Então:
Passo 4
Agora que temos a velocidade, vamos calcular a quantidade de movimento
:
Multiplicando a massa pelos componentes da velocidade:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento angular
usando a fórmula
. Para vetores no plano
, o momento angular é um escalar dado por:
Onde:
-
e são as componentes de , -
e são as componentes de .
Vamos identificar essas componentes:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula do momento angular:
Vamos multiplicar termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Agora, subtraindo os dois resultados:
Resposta
O momento angular da partícula em relação à origem, como função do tempo, é: