Uma viga (comprimento l e massa desprezível) é colocada horizontalmente entre dois planos inclinados lisos. Um bloco com peso |\vec{W}|=m g repousa sobre a viga. A qual distância x o bloco deve ser colocado para que o sistema fique em equilíbrio? Também determine as forças de reação. Não esqueça das explicações durante a resolução. Mostre que os resultados obtidos são fisicamente coerentes.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema em que uma viga horizontal de comprimento l e massa desprezível apoia-se sem atrito em dois planos inclinados com ângulos \alpha (à esquerda) e \beta (à direita). Um bloco de massa m repousa sobre a viga, a uma distância x do apoio esquerdo. Queremos (i) a posição x que garante o equilíbrio (sem giro nem movimento) e (ii) as reações normais nos apoios, N_1 (esquerdo) e N_2 (direito). Para isso, aplicaremos as condições de equilíbrio estático:
– soma das componentes horizontais das forças igual a zero,
– soma das componentes verticais igual a zero,
– soma dos momentos igual a zero.

Passo 2

Definimos as reações normais com as componentes:
– em A (esquerda), N_1 tem componente horizontal para a direita N_1\sin\alpha e vertical para cima N_1\cos\alpha.
– em B (direita), N_2 tem componente horizontal para a esquerda N_2\sin\beta e vertical para cima N_2\cos\beta.
Equilíbrio horizontal \sum F_x=0:
N_{1}\,\sin\alpha \;-\;N_{2}\,\sin\beta \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad N_{1}\,\sin\alpha = N_{2}\,\sin\beta.

Passo 3

Equilíbrio vertical \sum F_y=0, anulando o peso do bloco mg:
N_{1}\,\cos\alpha \;+\;N_{2}\,\cos\beta \;-\;m\,g = 0 \quad\Longrightarrow\quad N_{1}\,\cos\alpha + N_{2}\,\cos\beta = m\,g.

Passo 4

Das duas equações em N_1 e N_2 resolve-se:
a) de N_{1}\sin\alpha = N_{2}\sin\beta vem
N_{1} = N_{2}\,\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.
b) substituir em N_{1}\cos\alpha + N_{2}\cos\beta = mg:
N_{2}\,\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\,\cos\alpha + N_{2}\,\cos\beta = m\,g \;\Longrightarrow\; N_{2}\,\frac{\sin\beta\cos\alpha + \sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha} = m\,g.
Mas \sin\beta\cos\alpha + \sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta). Logo
N_{2}\,\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha} = m\,g \quad\Longrightarrow\quad N_{2} = \frac{m\,g\,\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.
E então
N_{1} = N_{2}\,\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{m\,g\,\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\;\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{m\,g\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.

Passo 5

Momento em relação ao apoio esquerdo A \sum M_A=0. Só contribuem o peso do bloco m\,g (vertical) e a componente vertical de N_{2} em B. Tomando momentos positivos no sentido que equilibra o giro do peso:
m\,g\;x \;=\;N_{2}\,\cos\beta\;\bigl(l\bigr).
Logo
x = \frac{N_{2}\,\cos\beta\,l}{m\,g} = \frac{\bigl(\dfrac{m\,g\,\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\bigr)\cos\beta\;l}{m\,g} = \frac{l\,\sin\alpha\,\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.

Passo 6

Verificação de coerência física:
  • Se \alpha=\beta, então x = l\,\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin(2\alpha)}=l/2, ou seja, posição central (simetria).
  • Para \alpha\to0, x\to0: o bloco deve ficar junto ao apoio esquerdo (plano quase horizontal).
  • Para \alpha\to90^\circ, x\to l: o bloco vai para o extremo direito (apoio esquerdo vira parede vertical).

Resposta

Posição do bloco para equilíbrio:
\boxed{ x = \frac{l\,\sin\alpha\,\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)} }
Reações nos apoios:
\boxed{ N_{1} = \frac{m\,g\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}, \qquad N_{2} = \frac{m\,g\,\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}. }

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