Calcule via integrais o centro de massa de uma barra de comprimento L :
Com densidade uniforme de massa, \lambda=\frac{d m}{d l}= constante.

Passo 1

Resumindo: temos uma barra homogênea de comprimento L e densidade linear uniforme \lambda = \tfrac{dm}{dl} constante. Queremos o centro de massa x_{\rm cm} ao longo do eixo x. Vamos usar a definição
x_{\rm cm}=\frac{1}{M}\int x\,dm,
onde M é a massa total da barra e dm é o elemento de massa em torno de x.

Passo 2

Expressamos dm em função de dx. Como \lambda é constante, temos
dm=\lambda\,dx
e a massa total
M=\int dm=\int_{0}^{L}\lambda\,dx=\lambda\,L.

Passo 3

Montamos a integral que dá o numerador de x_{\rm cm}:
\int x\,dm=\int_{0}^{L}x\bigl(\lambda\,dx\bigr) =\lambda\int_{0}^{L}x\,dx.
Calculando essa integral:
\int_{0}^{L}x\,dx=\frac{L^2}{2},
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\int_{0}^{L}x\,dm =\lambda\,\frac{L^2}{2}.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula de x_{\rm cm}:
x_{\rm cm} =\frac{1}{M}\int_{0}^{L}x\,dm =\frac{1}{\lambda L}\biggl(\lambda\,\frac{L^2}{2}\biggr) =\frac{L}{2}.

Resposta

O centro de massa da barra fica em
x_{\rm cm}=\frac{L}{2}.

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