Por que em uma viga sob força transversal (sem momento aplicado) a área da parcela positiva do diagrama de esforço cortante é igual à área da parcela negativa deste diagrama?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, numa viga sujeita apenas a cargas transversais (isto é, sem momentos externos aplicados nas extremidades ou em pontos internos), a área da parte positiva do diagrama de esforço cortante é igual em módulo à área da parte negativa. Informações relevantes dadas (implicadas pelo enunciado):
- Há só forças transversais (distribuídas e/ou concentradas), não há momentos aplicados externamente.
- Quer-se entender a relação entre as áreas positivas e negativas do diagrama de esforço cortante
. - Pressupõe-se a convenção usual de sinais para
e e que a viga é considerada no intervalo entre dois pontos onde se avalia o momento.
Passo 2
Definições e relação fundamental entre esforço cortante e momento fletor.
- Seja
o esforço cortante interno ao longo da viga e o momento fletor interno, ambos funções da abscissa . - Tome uma pequena parcela da viga entre
e . Para essa parcela, escrevendo o equilíbrio de momentos em torno da face esquerda (ou direita) da parcela obtém-se a relação diferencial entre e . - Escrever o equilíbrio: o momento à direita menos o momento à esquerda deve ser igual ao momento causado pela força cortante resultante sobre a parcela. Em notação:
Aqui foi usada a convenção de sinais tal que um
positivo produz aumento apropriado do momento (a convenção exata só muda sinais consistentes; o resultado final será o mesmo em termos de cancelamento de áreas).
Passo 3
Passar ao limite para obter a relação diferencial.
- Reorganizando e dividindo por
:
- Tomando o limite
(derivada), obtemos a relação clássica (dependendo da convenção de sinal usada; aqui adotamos a forma padrão que liga a derivada do momento ao esforço cortante):
(Se a convenção de sinais usada antes sugerir um sinal trocado, a forma consistente é
; o ponto importante é que o esforço cortante é a derivada do momento fletor.)
Passo 4
Integrar a relação ao longo da viga para ligar áreas do cortante com variação do momento.
- Integramos de
até :
- Interpretação: a integral de
ao longo do comprimento é igual à diferença dos momentos fletores nas extremidades e . A integral é a área algébrica do diagrama de cortante (áreas onde contam positivas e onde contam negativas).
Passo 5
Aplicar a hipótese “sem momento aplicado” e concluir sobre as áreas.
- A hipótese do enunciado “sem momento aplicado” significa que não há momentos externos nas extremidades (ou entre os pontos considerados), logo geralmente
(casos típicos: viga simplesmente apoiada em ambas as extremidades, ou tomando as extremidades onde o momento é conhecido como zero). - Substituindo na identidade anterior:
- Uma integral algébrica igual a zero implica que a soma (algebraicamente) das áreas positivas e negativas se anula; isto é, a área total positiva é numericamente igual à área total negativa.
Passo 6
Explicação intuitiva (sem fórmulas pesadas) e exemplo concreto.
- Intuição:
é a inclinação (derivada) do diagrama de momento . Para começar e terminar com o mesmo valor de momento (por exemplo zero), as zonas em que (onde cresce) têm de ser compensadas por zonas em que (onde decresce). O aumento total e a diminuição total somam zero. - Exemplo simples: viga biapoiada com carga concentrada
no meio de vão . O cortante é na região esquerda até o ponto da carga e na região direita. Áreas: esquerda , direita . Soma zero e módulos iguais.
Passo 7
Observações adicionais úteis para a prova (o que muda se houver outros casos).
- Se houver um momento concentrado aplicado em algum ponto ou momentos externos nas extremidades, então
não será zero e teremos
ou seja, a diferença entre as áreas positiva e negativa do diagrama de cortante será exatamente igual ao efeito (valor) desses momentos aplicados.
- Saltos no diagrama de
indicam cargas concentradas; descontinuidades em indicariam momentos concentrados. As mesmas relações de derivada/integral continuam válidas no sentido das distribuições, desde que se trate com cuidado os saltos.
Resposta
Porque
e, integrando ao longo da viga,
Se não há momentos aplicados nas extremidades então
, logo
, o que significa que a área algébrica positiva do diagrama de cortante se anula com a área algébrica negativa (os módulos das áreas positiva e negativa são iguais).