Por que em uma viga sob força transversal (sem momento aplicado) a área da parcela positiva do diagrama de esforço cortante é igual à área da parcela negativa deste diagrama?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, numa viga sujeita apenas a cargas transversais (isto é, sem momentos externos aplicados nas extremidades ou em pontos internos), a área da parte positiva do diagrama de esforço cortante é igual em módulo à área da parte negativa. Informações relevantes dadas (implicadas pelo enunciado):
  • Há só forças transversais (distribuídas e/ou concentradas), não há momentos aplicados externamente.
  • Quer-se entender a relação entre as áreas positivas e negativas do diagrama de esforço cortante V(x).
  • Pressupõe-se a convenção usual de sinais para V(x) e M(x) e que a viga é considerada no intervalo [a,b] entre dois pontos onde se avalia o momento.

Passo 2

Definições e relação fundamental entre esforço cortante e momento fletor.
  • Seja V(x) o esforço cortante interno ao longo da viga e M(x) o momento fletor interno, ambos funções da abscissa x.
  • Tome uma pequena parcela da viga entre x e x+dx. Para essa parcela, escrevendo o equilíbrio de momentos em torno da face esquerda (ou direita) da parcela obtém-se a relação diferencial entre M e V.
  • Escrever o equilíbrio: o momento à direita menos o momento à esquerda deve ser igual ao momento causado pela força cortante resultante sobre a parcela. Em notação:
M(x+dx)-M(x)+V(x)\,dx=0.
Aqui foi usada a convenção de sinais tal que um V positivo produz aumento apropriado do momento (a convenção exata só muda sinais consistentes; o resultado final será o mesmo em termos de cancelamento de áreas).

Passo 3

Passar ao limite para obter a relação diferencial.
  • Reorganizando e dividindo por dx:
\frac{M(x+dx)-M(x)}{dx} = -V(x).
  • Tomando o limite dx\to0 (derivada), obtemos a relação clássica (dependendo da convenção de sinal usada; aqui adotamos a forma padrão que liga a derivada do momento ao esforço cortante):
\frac{dM}{dx}=V(x).
(Se a convenção de sinais usada antes sugerir um sinal trocado, a forma consistente é dM/dx=V; o ponto importante é que o esforço cortante é a derivada do momento fletor.)

Passo 4

Integrar a relação ao longo da viga para ligar áreas do cortante com variação do momento.
  • Integramos de a até b:
\int_{a}^{b} V(x)\,dx = \int_{a}^{b} \frac{dM}{dx}\,dx = M(b)-M(a).
  • Interpretação: a integral de V(x) ao longo do comprimento é igual à diferença dos momentos fletores nas extremidades a e b. A integral \int_a^b V(x)\,dx é a área algébrica do diagrama de cortante (áreas onde V>0 contam positivas e onde V<0 contam negativas).

Passo 5

Aplicar a hipótese “sem momento aplicado” e concluir sobre as áreas.
  • A hipótese do enunciado “sem momento aplicado” significa que não há momentos externos nas extremidades (ou entre os pontos considerados), logo geralmente M(a)=M(b)=0 (casos típicos: viga simplesmente apoiada em ambas as extremidades, ou tomando as extremidades onde o momento é conhecido como zero).
  • Substituindo na identidade anterior:
\int_{a}^{b} V(x)\,dx = M(b)-M(a)=0.
  • Uma integral algébrica igual a zero implica que a soma (algebraicamente) das áreas positivas e negativas se anula; isto é, a área total positiva é numericamente igual à área total negativa.

Passo 6

Explicação intuitiva (sem fórmulas pesadas) e exemplo concreto.
  • Intuição: V(x) é a inclinação (derivada) do diagrama de momento M(x). Para começar e terminar com o mesmo valor de momento (por exemplo zero), as zonas em que V(x)>0 (onde M cresce) têm de ser compensadas por zonas em que V(x)<0 (onde M decresce). O aumento total e a diminuição total somam zero.
  • Exemplo simples: viga biapoiada com carga concentrada P no meio de vão L. O cortante é +P/2 na região esquerda até o ponto da carga e -P/2 na região direita. Áreas: esquerda +(P/2)(L/2)=PL/4, direita -(P/2)(L/2)=-PL/4. Soma zero e módulos iguais.

Passo 7

Observações adicionais úteis para a prova (o que muda se houver outros casos).
  • Se houver um momento concentrado aplicado em algum ponto ou momentos externos nas extremidades, então M(b)-M(a) não será zero e teremos
\int_a^b V(x)\,dx = M(b)-M(a),
ou seja, a diferença entre as áreas positiva e negativa do diagrama de cortante será exatamente igual ao efeito (valor) desses momentos aplicados.
  • Saltos no diagrama de V(x) indicam cargas concentradas; descontinuidades em M(x) indicariam momentos concentrados. As mesmas relações de derivada/integral continuam válidas no sentido das distribuições, desde que se trate com cuidado os saltos.

Resposta

Porque V(x)=\dfrac{dM}{dx} e, integrando ao longo da viga,
\int_a^b V(x)\,dx = M(b)-M(a).
Se não há momentos aplicados nas extremidades então M(a)=M(b)=0, logo \int_a^b V(x)\,dx=0, o que significa que a área algébrica positiva do diagrama de cortante se anula com a área algébrica negativa (os módulos das áreas positiva e negativa são iguais).

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