Para a viga metálica W 360 \times 101 do exercício 3, considere \mathrm{P}=180 \mathrm{KN}, \mathrm{L}=4,4 \mathrm{~m} e \mathrm{a}=1,2 \mathrm{~m}, \quad \mathrm{I}=302^{*} 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} e \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}, determine a deflexão máxima em C e a rotação neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a deflexão máxima em C e a rotação nesse ponto para a viga W 360\times101 do exercício 3, usando os dados fornecidos. Dados fornecidos:
P=180\\ \text{kN},\quad L=4{,}4\\ \text{m},\quad a=1{,}2\\ \text{m},
I=302\times10^{6}\\ \text{mm}^{4},\quad E=200\\ \text{GPa}.
Informações que vou usar explicitamente (conversões de unidades que farei): vou trabalhar no sistema \text{N}, \text{mm}. Portanto:
P=180000\\ \text{N},\quad L=4400\\ \text{mm},\quad a=1200\\ \text{mm},\quad b=L-a=3200\\ \text{mm},
I=302\times10^{6}\\ \text{mm}^{4},\quad E=200000\\ \text{N}/\text{mm}^{2}.
Observação: o ponto C é o ponto sob a carga (posição a medido a partir do apoio esquerdo) e a deflexão máxima, no caso de uma viga biapoiada com única carga concentrada P, ocorre em C (no ponto de aplicação da carga). Vou usar essa interpretação para resolver.

Passo 2

Modelo escolhido e justificativa (resumida): a configuração considerada é a de uma viga simplesmente apoiada de vão \,L com uma carga concentrada \,P aplicada a uma distância \,a do apoio esquerdo (logo b=L-a do apoio direito). Para esse caso único, a maior deflexão ocorre sob a carga e a rotação nesse ponto pode ser obtida pela integração da equação da linha elástica v''(x)=-M(x)/(EI). Vou derivar a expressão analítica para \delta em x=a e para \theta\equiv v'(a) aplicando continuidade das funções nos dois trechos 0\le x\le a e a\le x\le L.

Passo 3

Momento fletor nas duas regiões (usando reações estáticas):
As reações para carga P em a são
R_A=\frac{P b}{L},\qquad R_B=\frac{P a}{L}.
Portanto o momento fletor é
M(x)=\begin{cases} R_A x = \dfrac{P b}{L}\,x, & 0\le x\le a,\\[6pt] R_A x - P(x-a)=P a\left(1-\dfrac{x}{L}\right), & a\le x\le L. \end{cases}]

Passo 4

Equação da linha elástica e integrações (esclarecendo cada símbolo):
A equação da linha elástica relaciona curvatura e momento:
v''(x)=-\dfrac{M(x)}{E I},
onde v(x) é a deflexão vertical (positiva para cima), v'(x) é a inclinação (rotação) e v''(x) é a curvatura. Vou integrar duas vezes em cada trecho e aplicar as condições de contorno e continuidade.
Para 0\le x\le a:
v''(x)=-\dfrac{P b}{L E I}\,x.
Integrando:
v'(x)=-\dfrac{P b}{2 L E I}\,x^{2}+C_{1},
v(x)=-\dfrac{P b}{6 L E I}\,x^{3}+C_{1}x+C_{3}.
Aplicando v(0)=0 (apoiamento esquerdo): C_{3}=0.
Para a\le x\le L:
v''(x)=-\dfrac{P a}{E I}\left(1-\dfrac{x}{L}\right)=-\dfrac{P a}{E I}+\dfrac{P a}{L E I}\,x.
Integrando:
v'(x)=-\dfrac{P a}{E I}\,x+\dfrac{P a}{2 L E I}\,x^{2}+C_{2},
v(x)=-\dfrac{P a}{2 E I}\,x^{2}+\dfrac{P a}{6 L E I}\,x^{3}+C_{2}x+C_{4}.
Aplicando v(L)=0 e as condições de continuidade v(a^-)=v(a^+) e v'(a^-)=v'(a^+) vamos determinar as constantes C_1,C_2,C_4.

Passo 5

Condições de continuidade em x=a (passo a passo algébrico):
Continuidade de inclinação v'(a^-)=v'(a^+):
-\dfrac{P b}{2 L E I}\,a^{2}+C_{1}=-\dfrac{P a}{E I}\,a+\dfrac{P a}{2 L E I}\,a^{2}+C_{2}.
Reorganizando obtemos
C_{2}=C_{1}+\dfrac{P a^{2}}{2 E I}.
Continuidade de deflexão v(a^-)=v(a^+):
-\dfrac{P b}{6 L E I}\,a^{3}+C_{1}a = -\dfrac{P a}{2 E I}\,a^{2}+\dfrac{P a}{6 L E I}\,a^{3}+C_{2}a+C_{4}.
Substituindo C_{2}=C_{1}+\dfrac{P a^{2}}{2 E I} e simplificando, encontra-se
C_{4}=-\dfrac{P a^{3}}{6 E I}.
Agora aplicando v(L)=0 com a expressão para v(x) no trecho direito:
0=v(L)=-\dfrac{P a}{2 E I}\,L^{2}+\dfrac{P a}{6 L E I}\,L^{3}+C_{2}L+C_{4}.
Substituindo C_{2} e C_{4} e resolvendo para C_{1} obtém-se (mostrando o resultado útil para seguir)
C_{1}=\dfrac{P}{E I}\cdot\dfrac{a\left(2L^{2}-3aL+a^{2}\right)}{6L}.

Passo 6

Expressões fechadas para deflexão e rotação em x=a:
A deflexão em x=a (usando a expressão do trecho esquerdo) é
v(a)=-\dfrac{P b}{6 L E I}\,a^{3}+C_{1}a.
Substituindo C_{1} e simplificando (passo algébrico mostrado):
\boxed{\,v(a)=\dfrac{P\,a^{2}b^{2}}{3\,L\,E\,I}\,}
Esta é a fórmula clássica para a deflexão no ponto de aplicação da carga em viga biapoiada.
A inclinação (rotação) em x=a pode ser obtida por v'(a). Usando v'(a)=-\dfrac{P b}{2 L E I}\,a^{2}+C_{1} e simplificando:
\boxed{\,v'(a)=\dfrac{P\,a\,b\,(L-2a)}{3\,L\,E\,I}\,}
Observação: o sinal indica a orientação da rotação; o módulo dá a magnitude da inclinação em radianos.

Passo 7

Substituição numérica — primeiras conversões (tudo em \text{N} e \text{mm}):
P=180000\\ \text{N},\quad a=1200\\ \text{mm},\quad b=3200\\ \text{mm},\quad L=4400\\ \text{mm},
E=200000\\ \text{N}/\text{mm}^{2},\quad I=302\times10^{6}\\ \text{mm}^{4}.

Passo 8

Cálculo da deflexão em C (em \text{mm}):
Usando \;v(a)=\dfrac{P\,a^{2}b^{2}}{3 L E I}:
a^{2}=1200^{2}=1{,}44\times10^{6}\\ \text{mm}^{2},
b^{2}=3200^{2}=10{,}24\times10^{6}\\ \text{mm}^{2},
P a^{2} b^{2}=180000\cdot1{,}44\times10^{6}\cdot10{,}24\times10^{6}=2{,}654208\times10^{18}.
Denominador:
3 L E I=3\cdot4400\cdot200000\cdot302\times10^{6}=7{,}9728\times10^{17}.
Portanto
v(a)=\dfrac{2{,}654208\times10^{18}}{7{,}9728\times10^{17}}=3{,}3276\\ \text{mm}\approx3{,}33\\ \text{mm}.

Passo 9

Cálculo da rotação em C (em radianos):
Usando \;v'(a)=\dfrac{P\,a\,b\,(L-2a)}{3 L E I}:
a b (L-2a)=1200\cdot3200\cdot(4400-2400)=1200\cdot3200\cdot2000=7{,}68\times10^{9}\\ \text{mm}^{3},
P\cdot a b (L-2a)=180000\cdot7{,}68\times10^{9}=1{,}3824\times10^{15}.
Dividindo pelo mesmo denominador 3 L E I=7{,}9728\times10^{17} obtemos
v'(a)=\dfrac{1{,}3824\times10^{15}}{7{,}9728\times10^{17}}=1{,}7336\times10^{-3}\\ \text{rad}\approx1{,}73\times10^{-3}\\ \text{rad}.
Em graus isso equivale a
1{,}7336\times10^{-3}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx0{,}0994^\circ.

Resposta

\delta_{C}=3{,}33\\ \text{mm}
\theta_{C}=1{,}73\times10^{-3}\\ \text{rad}\\ \left(=0{,}0994^\circ\right)

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