Para a viga metálica W 360 \times 101 do exercício 3, considere \mathrm{P}=180 \mathrm{KN}, \mathrm{L}=4,4 \mathrm{~m} e \mathrm{a}=1,2 \mathrm{~m}, \quad \mathrm{I}=302^{*} 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} e \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}, determine a deflexão máxima em C e a rotação neste ponto.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a deflexão máxima em C e a rotação nesse ponto para a viga W 360\times101 do exercício 3, usando os dados fornecidos. Dados fornecidos:
Observação: o ponto C é o ponto sob a carga (posição a medido a partir do apoio esquerdo) e a deflexão máxima, no caso de uma viga biapoiada com única carga concentrada P, ocorre em C (no ponto de aplicação da carga). Vou usar essa interpretação para resolver.
Passo 2
Modelo escolhido e justificativa (resumida): a configuração considerada é a de uma viga simplesmente apoiada de vão \,L com uma carga concentrada \,P aplicada a uma distância \,a do apoio esquerdo (logo b=L-a do apoio direito). Para esse caso único, a maior deflexão ocorre sob a carga e a rotação nesse ponto pode ser obtida pela integração da equação da linha elástica v''(x)=-M(x)/(EI). Vou derivar a expressão analítica para \delta em x=a e para \theta\equiv v'(a) aplicando continuidade das funções nos dois trechos 0\le x\le a e a\le x\le L.
Passo 3
Momento fletor nas duas regiões (usando reações estáticas):
As reações para carga P em a são
R_A=\frac{P b}{L},\qquad R_B=\frac{P a}{L}.
Portanto o momento fletor é
M(x)=\begin{cases} R_A x = \dfrac{P b}{L}\,x, & 0\le x\le a,\\[6pt] R_A x - P(x-a)=P a\left(1-\dfrac{x}{L}\right), & a\le x\le L. \end{cases}]
Passo 4
Equação da linha elástica e integrações (esclarecendo cada símbolo):
A equação da linha elástica relaciona curvatura e momento:
v''(x)=-\dfrac{M(x)}{E I},
onde v(x) é a deflexão vertical (positiva para cima), v'(x) é a inclinação (rotação) e v''(x) é a curvatura. Vou integrar duas vezes em cada trecho e aplicar as condições de contorno e continuidade.
Para 0\le x\le a:
v''(x)=-\dfrac{P b}{L E I}\,x.
Integrando:
v'(x)=-\dfrac{P b}{2 L E I}\,x^{2}+C_{1},
v(x)=-\dfrac{P b}{6 L E I}\,x^{3}+C_{1}x+C_{3}.
Aplicando v(0)=0 (apoiamento esquerdo): C_{3}=0.
Para a\le x\le L:
v''(x)=-\dfrac{P a}{E I}\left(1-\dfrac{x}{L}\right)=-\dfrac{P a}{E I}+\dfrac{P a}{L E I}\,x.
Integrando:
v'(x)=-\dfrac{P a}{E I}\,x+\dfrac{P a}{2 L E I}\,x^{2}+C_{2},
v(x)=-\dfrac{P a}{2 E I}\,x^{2}+\dfrac{P a}{6 L E I}\,x^{3}+C_{2}x+C_{4}.
Aplicando v(L)=0 e as condições de continuidade v(a^-)=v(a^+) e v'(a^-)=v'(a^+) vamos determinar as constantes C_1,C_2,C_4.
Passo 5
Condições de continuidade em x=a (passo a passo algébrico):
Continuidade de inclinação v'(a^-)=v'(a^+):
-\dfrac{P b}{2 L E I}\,a^{2}+C_{1}=-\dfrac{P a}{E I}\,a+\dfrac{P a}{2 L E I}\,a^{2}+C_{2}.
Reorganizando obtemos
C_{2}=C_{1}+\dfrac{P a^{2}}{2 E I}.
Continuidade de deflexão v(a^-)=v(a^+):
-\dfrac{P b}{6 L E I}\,a^{3}+C_{1}a = -\dfrac{P a}{2 E I}\,a^{2}+\dfrac{P a}{6 L E I}\,a^{3}+C_{2}a+C_{4}.
Substituindo C_{2}=C_{1}+\dfrac{P a^{2}}{2 E I} e simplificando, encontra-se
C_{4}=-\dfrac{P a^{3}}{6 E I}.
Agora aplicando v(L)=0 com a expressão para v(x) no trecho direito:
0=v(L)=-\dfrac{P a}{2 E I}\,L^{2}+\dfrac{P a}{6 L E I}\,L^{3}+C_{2}L+C_{4}.
Substituindo C_{2} e C_{4} e resolvendo para C_{1} obtém-se (mostrando o resultado útil para seguir)