O homem M de 150 lb salta para um bote B de 200 lb. Se o homem tem um componente horizontal de velocidade de 3 pés/s, relativamente ao bote, imediatamente antes de tocá-lo, e o bote está se afastando do píer com velocidade de 2 pés/s no momento do salto, determine a velocidade comum ao homem e bote imediatamente após o salto.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dados:
    • O homem M pesa \,150\\ \text{lb}.
    • O bote B pesa \,200\\ \text{lb}.
    • Imediatamente antes de tocar o bote, o homem tem um componente horizontal de velocidade de \,3\\ \text{ft/s} relativo ao bote.
    • No momento do salto, o bote está se afastando do píer com velocidade de \,2\\ \text{ft/s}.
  • Pedido:
    • Determinar a velocidade comum do homem e do bote imediatamente após o salto.

Passo 2

Vamos clarificar as velocidades relativas e absolutas — isto é essencial para não confundir tudo na hora da prova.
  • Escolhemos o sentido “para longe do píer” como positivo.
  • A velocidade do bote em relação ao píer é \,v_b=2\\ \text{ft/s} (dada).
  • A velocidade do homem em relação ao bote, na direção horizontal, é \,v_{m/b}=3\\ \text{ft/s}. Isso significa que, em relação ao bote, o homem se move a \,3\\ \text{ft/s} na direção que vai alcançá‑lo (ou seja, no mesmo sentido positivo).
  • Para usar conservação de momento precisamos da velocidade absoluta do homem em relação ao píer. A relação entre velocidade absoluta, velocidade do bote e velocidade relativa é:
v_{m,\text{abs}} = v_b + v_{m/b}.
  • Substituindo os números:
v_{m,\text{abs}} = 2 + 3 = 5\\ \text{ft/s}.
Aqui v_{m,\text{abs}} é a velocidade do homem medida em relação ao píer imediatamente antes do impacto.

Passo 3

Agora a ideia física que vamos usar (explicada de forma simples e direta):
  • Durante o contato instantâneo do homem com o bote (um choque praticamente impulsivo, sem atrito horizontal significativo do píer), as forças externas horizontais sobre o sistema homem+bote são desprezíveis durante o curto intervalo do impacto. Nessas condições, o momento linear total na direção horizontal é conservado.
  • A equação de conservação do momento linear (na horizontal) é:
m_m v_{m,\text{abs}} + m_b v_b = (m_m + m_b)\,v_f,
onde:
  • m_m é a massa do homem,
  • m_b é a massa do bote,
  • v_{m,\text{abs}} é a velocidade do homem antes do impacto (em relação ao píer),
  • v_b é a velocidade do bote antes do impacto,
  • v_f é a velocidade comum (homem + bote) imediatamente após o salto.

Passo 4

Tradução entre peso em libras e massa (sem complicar):
  • No sistema inglês, o “peso” em libras ( \text{lb}) está relacionado à massa m por m = W/g, onde g é a aceleração da gravidade em \text{ft/s}^2 (tomaremos g=32\\ \text{ft/s}^2).
  • Se substituirmos m_m = W_m/g e m_b = W_b/g na equação do momento, o fator 1/g aparece em todos os termos e se cancela. Portanto podemos trabalhar diretamente com os pesos (em lb) em vez das massas — isso simplifica muito e é um truque prático muito usado em problemas assim.
  • Assim obtemos a fórmula prática:
v_f = \frac{W_m\,v_{m,\text{abs}} + W_b\,v_b}{W_m + W_b},
onde W_m e W_b são os pesos em libras.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula com os números do enunciado:
  • Substituindo W_m=150\\ \text{lb}, W_b=200\\ \text{lb}, v_{m,\text{abs}}=5\\ \text{ft/s} e v_b=2\\ \text{ft/s}:
v_f = \frac{150\cdot 5 + 200\cdot 2}{150 + 200}.
  • Calculando numerador e denominador:
150\cdot 5 = 750,\qquad 200\cdot 2 = 400,\qquad 750+400 = 1150,
150+200 = 350.
  • Portanto
v_f = \frac{1150}{350}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 50:
v_f = \frac{23}{7}\\ \text{ft/s}.
  • Como referência numérica aproximada,
v_f \approx 3,2857\\ \text{ft/s}.

Resposta

\dfrac{23}{7}\\ \text{ft/s}\\ \approx 3,2857\\ \text{ft/s}

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