Se você aumenta o ganho de um amplificador não inversor, o que acontece com a largura de banda? Por quê?

Passo 1

O que o enunciado pergunta: “Se você aumenta o ganho de um amplificador não inversor, o que acontece com a largura de banda? Por quê?”
Informações relevantes e pontos que vamos usar (tudo que vem do contexto do enunciado):
  • Trata-se de um amplificador operacional em configuração não inversora.
  • Aumentar o ganho significa aumentar o ganho em malha fechada G (o fator pelo qual o sinal de entrada é ampliado pela saída).
  • Queremos saber o efeito dessa alteração sobre a largura de banda (frequência de corte ou banda útil) e a razão física/analítica desse efeito.

Passo 2

Definições básicas e relações de feedback (sem resolver ainda):
  • Para um amplificador não inversor com resistores R_1,R_2 vale
G = 1 + \frac{R_2}{R_1}.
  • O fator de realimentação (feedback) é
\beta = \frac{1}{G}.
  • O ganho em malha aberta do amplificador operacional é função da frequência; chamamos de A(s) (ou A(j\omega) no domínio de frequência). Com realimentação, a função de transferência em malha fechada é dada por
T(s)=\frac{A(s)}{1 + A(s)\,\beta}.
Explicando em palavras: A(s) é quanto o op-amp sozinho amplifica sem retroalimentação; a realimentação reduz esse ganho e define o ganho em malha fechada T(s).

Passo 3

Modelo simples do op-amp e definição do produto ganho–largura de banda:
  • Um bom modelo de primeiro princípio para muitos op-amps é o modelo de pólo dominante (single-pole):
A(s)=\frac{A_0}{1 + \dfrac{s}{\omega_p}},
onde:
  • A_0 é o ganho em malha aberta em DC (muito grande),
  • \omega_p é a frequência angular do pólo dominante ( \omega_p=2\pi f_p).
  • O produto ganho–largura de banda (GBW) é definido como
\mathrm{GBW} = A_0 \, f_p.
Interpretação: o ganho em malha aberta cai com a frequência, e o produto entre o ganho (em baixas frequências) e a frequência característica é, aproximadamente, constante (essa é a ideia do GBW).

Passo 4

Determinar a frequência de corte da malha fechada a partir da condição de loop gain:
  • A frequência de corte da resposta em malha fechada (aproximadamente o ponto onde a magnitude começa a cair) ocorre quando o ganho em malha aberta multiplicado pelo fator de realimentação tem magnitude unitária:
|A(j\omega)\,\beta| = 1.
  • Usando o modelo de pólo único e passando para frequência linear f (com s=j\omega e \omega=2\pi f), a magnitude aproximada do ganho em malha aberta é
|A(j\omega)| \approx \frac{A_0}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{f}{f_p}\right)^2}}.
  • Substituindo na condição |A(j\omega)|\beta = 1 obtemos
\frac{A_0}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{f_c}{f_p}\right)^2}} \cdot \beta = 1.
  • Isolando f_c (frequência de corte em malha fechada):
\sqrt{1 + \left(\dfrac{f_c}{f_p}\right)^2} = A_0\,\beta = \frac{A_0}{G},
\left(\dfrac{f_c}{f_p}\right)^2 = \left(\frac{A_0}{G}\right)^2 - 1,
f_c = f_p \sqrt{\left(\frac{A_0}{G}\right)^2 - 1}.

Passo 5

Aproximação prática e o resultado útil (fórmula simples):
  • Na prática muitos op-amps têm A_0 \gg G, então \left(\dfrac{A_0}{G}\right)^2 \gg 1 e podemos aproximar
f_c \approx f_p \cdot \frac{A_0}{G}.
  • Usando a definição de \mathrm{GBW} isso vira a forma muito usada:
f_c \approx \frac{\mathrm{GBW}}{G}.
Interpretação direta: se aumenta G, a largura de banda f_c cai aproximadamente em inversa proporcional a G. Ou seja, produto G \cdot f_c \approx \mathrm{GBW} é (quase) constante.

Passo 6

Intuição física e observações práticas (por que acontece):
  • O op-amp sozinho tem muito ganho em baixas frequências, mas esse ganho decai com a frequência (é um filtro passa-baixas por natureza). A realimentação negativa “usa” parte desse ganho para estabelecer o ganho em malha fechada estável. Para que a malha fechada consiga manter um ganho maior G, é preciso operar em uma faixa de frequência onde o ganho em malha aberta ainda seja pelo menos da ordem de G. Como o ganho em malha aberta cai com a frequência, exigir um ganho fechado maior empurra a frequência até a qual essa condição é verdadeira para valores mais baixos — ou seja, reduz a banda útil.
  • Observações práticas e limites: a fórmula f_c \approx \dfrac{\mathrm{GBW}}{G} é válida quando o modelo de pólo dominante é razoável. Outros limites práticos que também reduzem a resposta em alta frequência são o slew rate, distorção, e possíveis polos adicionais que complicam a resposta e a estabilidade (fase). Para altos ganhos ou aplicações críticas em velocidade, deve-se verificar estabilidade e margem de fase.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
  • Se um op-amp tem \mathrm{GBW}=1\\ \mathrm{MHz} e se escolhe G=10, então
f_c \approx \frac{1\\ \mathrm{MHz}}{10} = 100\\ \mathrm{kHz}.
  • Se aumentar G para 100, a banda cai para f_c \approx 10\\ \mathrm{kHz}.

Resposta

A largura de banda diminui aproximadamente de forma inversamente proporcional ao ganho em malha fechada: \;f_c \approx \dfrac{\mathrm{GBW}}{G}.

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