Você é engenheiro chefe de uma usina de etanol na região da Grande Dourados e identificou que há um filtro prensa de 48 metros quadrados disponivel e sem utilidade devido a uma mudança de processo que ocorreu no ano passado. Para aproveitar o equipamento e os funcionários você propõe que a usina possa oferecer um serviço de filtração para outras empresas da região. As empresas da localidade acharam interessante e trouxeram amostras de suspensões a serem filtradas. Uma das empresas foram selecionadas por sua equipe e os testes realizados no laboratório são apresentados na tabela abaixo. A empresa A precisa filtrar um volume de 60000 litros da suspensão por dia. A torta não precisa ser lavada. O filtro deve ser descarregado quando a massa de torta seca no filtro atingir 1000 kg . Considere - ciclo de montagem e descarregamento de 10 minutos. Empresa A: viscosidade 1,1 \times 10^{\wedge}-3 Pa.s; área filtro do laboratório =3,32 \times 10^{\wedge}-3 \mathrm{~m} 2; Diferença de pressão=50800 Pa; \mathrm{Cs}=36,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 Baseado nos dados disponíveis apresente um cronograma de trabalho para sua equipe otimizando o processo de filtração com turnos de 8 horas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela da imagem e de texto do enunciado):
  • Vontade do cliente: filtrar 60\,000\\ \text{L/dia}=60\\ \text{m}^3/\text{dia}.
  • Massa seca de torta ao descarregar: m_{\text{torta,lim}}=1000\\ \text{kg}.
  • Tempo de montagem/descarregamento por ciclo: t_{\text{overhead}}=10\\ \text{min}=600\\ \text{s}.
  • Viscosidade do líquido: \mu=1{,}1\times10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Diferença de pressão usada nos testes: \Delta P=50\,800\\ \text{Pa}.
  • Concentração de sólidos na suspensão: C_s=36{,}4\\ \text{kg}/\text{m}^3.
  • Área do filtro de laboratório (usada nos testes): A_{\text{lab}}=3{,}32\times10^{-3}\\ \text{m}^2.
  • Área do filtro prensa disponível: A_{\text{full}}=48\\ \text{m}^2.
  • Tabela experimental (peguei da imagem): pares (tempo de filtração em segundos, volume coletado em mL):
    (103,\;40),\\ (139,\;50),\\ (182,\;60),\\ (226,\;70),\\ (277,\;80),\\ (333,\;90),\\ (397,\;100),\\ (467,\;110),\\ (547,\;120),\\ (630,\;130).
O que o enunciado pede:
  • Apresentar um cronograma de trabalho (turnos de 8 horas) para otimizar o processo de filtração com o filtro prensa de 48\\ \text{m}^2, usando os dados de laboratório. Se houver limitação (por ex. incapacidade de cumprir os 60\\ \text{m}^3/\text{dia} com um único equipamento), indicar isso e propor opções.

Passo 2

Modelo físico usado (explicado passo a passo).
Na filtração a pressão constante, a teoria clássica (filtração de cake incompresível) dá a relação entre o tempo acumulado t e o volume filtrado V:
t = \frac{\mu \alpha C_s}{2 A^{2}\Delta P}\,V^{2} \;+\; \frac{\mu R_m}{A\Delta P}\,V,
onde:
  • t é o tempo de filtração (s);
  • V é o volume filtrado (m^3);
  • \mu é a viscosidade (Pa·s);
  • \alpha é a resistência específica do cake (m/kg) — quantifica quão “densa”/resistiva é a torta por unidade de massa;
  • C_s é a concentração de sólidos no líquido (kg/m^3);
  • A é a área de filtragem (m^2);
  • \Delta P é a pressão diferencial aplicada (Pa);
  • R_m é a resistência do meio filtrante (m^{-1}).
Essa expressão é quadrática em V. Para linearizar e obter parâmetros experimentais, divide-se por V (para V>0):
\frac{t}{V} = \left(\frac{\mu \alpha C_s}{2 A^{2}\Delta P}\right) V \;+\; \frac{\mu R_m}{A\Delta P}.
Ou seja, um gráfico de \frac{t}{V} versus V é aproximadamente uma reta; o coeficiente angular dá \alpha (quando \mu, C_s, A, \Delta P são conhecidos) e o coeficiente linear dá R_m.
Vou usar essa rota: dos dados de laboratório obter uma reta \frac{t}{V} = a_{\text{lab}}\,V + b_{\text{lab}}, extrair a_{\text{lab}}, b_{\text{lab}}, achar \alpha e R_m, e então escalar para a área real A_{\text{full}}=48\\ \text{m}^2. Com isso podemos prever tempos por volume no filtro de 48 m^2 e montar o cronograma.

Passo 3

Preparação dos dados de laboratório e ajuste linear (t/V versus V).
  1. Converto os volumes da tabela de mL para m^3: 1\\ \text{mL}=1\times10^{-6}\\ \text{m}^3. Assim, por exemplo 40\\ \text{mL}=40\times10^{-6}\\ \text{m}^3.
  2. Para cada par (t,V) calculo \dfrac{t}{V} (unidade: s/m^3). Como exemplo numérico:
  • Para (103\\ \text{s},\,40\\ \text{mL}): V=40\times10^{-6}\\ \text{m}^3 e \dfrac{t}{V}=\dfrac{103}{40\times10^{-6}}=2{,}575\times10^{6}\\ \text{s/m}^3.
  • Para (630\\ \text{s},\,130\\ \text{mL}): \dfrac{t}{V}=\dfrac{630}{130\times10^{-6}}=4{,}846\,153{,}846\\ \text{s/m}^3.
  1. Faço um ajuste linear simples (pelo método de dois pontos extremos dá boa aproximação aqui). Usando o primeiro e o último ponto obtive a reta:
\frac{t}{V} = a_{\text{lab}}\,V + b_{\text{lab}}
com os valores (números calculados passo a passo):
a_{\text{lab}} \approx 2{,}5235\times10^{10}\\ \text{s/m}^6, \qquad b_{\text{lab}} \approx 1{,}5656\times10^{6}\\ \text{s/m}^3.
(Detalhe: unidades do coeficiente angular são \text{s}/\text{m}^6 porque se V está em m^3 e \tfrac{t}{V} em s/m^3.)

Passo 4

Extração de \alpha e R_m a partir dos coeficientes da reta.
Das fórmulas:
a_{\text{lab}} = \frac{\mu \alpha C_s}{2 A_{\text{lab}}^{2}\Delta P}, \qquad b_{\text{lab}} = \frac{\mu R_m}{A_{\text{lab}}\Delta P}.
Isolando \alpha e R_m:
\alpha = \frac{2 A_{\text{lab}}^{2}\Delta P\,a_{\text{lab}}}{\mu C_s}, \qquad R_m = \frac{b_{\text{lab}}\,A_{\text{lab}}\Delta P}{\mu}.
Substituindo números (mostrando cada passo numérico):
  • A_{\text{lab}}=3{,}32\times10^{-3}\\ \text{m}^2 A_{\text{lab}}^{2}=1{,}10224\times10^{-5}\\ \text{m}^4.
  • Numerador para \alpha: 2 A_{\text{lab}}^{2}\Delta P\,a_{\text{lab}} \approx 2 \cdot 1{,}10224\times10^{-5}\cdot50\,800\cdot 2{,}5235\times10^{10}\approx 2{,}8277\times10^{10}.
  • Denominador: \mu C_s = 1{,}1\times10^{-3}\cdot36{,}4 = 0{,}04004.
  • Assim \displaystyle \alpha \approx \frac{2{,}8277\times10^{10}}{0{,}04004}\approx 7{,}06\times10^{11}\\ \text{m/kg}.
Para R_m:
  • A_{\text{lab}}\Delta P = 3{,}32\times10^{-3}\cdot50\,800 \approx 168{,}656.
  • Numerador b_{\text{lab}}\,A_{\text{lab}}\Delta P \approx 1{,}5656\times10^{6}\cdot168{,}656 \approx 2{,}6405\times10^{8}.
  • Dividindo por \mu=1{,}1\times10^{-3}
    \displaystyle R_m \approx 2{,}40\times10^{11}\\ \text{m}^{-1}.
Interpretação: valores altos de \alpha e R_m significam que a torta e o meio filtrante oferecem resistência significativa, o que explica tempos crescentes com o volume.

Passo 5

Escalonamento para a área do filtro prensa (48 m^2).
As quantidades na equação escalam com a área como segue:
  • O coeficiente quadrático ( a) depende de 1/A^{2}: a \propto 1/A^{2}.
  • O coeficiente linear ( b) depende de 1/A: b \propto 1/A.
Assim:
a_{\text{full}} = a_{\text{lab}}\left(\frac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{full}}}\right)^{2}, \qquad b_{\text{full}} = b_{\text{lab}}\left(\frac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{full}}}\right).
Cálculo numérico:
  • \dfrac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{full}}}=\dfrac{3{,}32\times10^{-3}}{48}\approx 6{,}9167\times10^{-5}.
  • \left(\dfrac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{full}}}\right)^{2}\approx 4{,}785\times10^{-9}.
Portanto:
a_{\text{full}} \approx 2{,}5235\times10^{10}\times4{,}785\times10^{-9}\approx 120{,}77\\ \text{s/m}^6,
b_{\text{full}} \approx 1{,}5656\times10^{6}\times6{,}9167\times10^{-5}\approx 108{,}29\\ \text{s/m}^3.
Logo, para o filtro de 48\\ \text{m}^2 a relação t = a_{\text{full}} V^{2} + b_{\text{full}} V (com V em m^3 e t em s) é:
t \approx 120{,}77\,V^{2} + 108{,}29\,V.

Passo 6

Volume máximo permitido pela massa de torta e tempo de filtração correspondente.
A massa de torta seca acumulada é m=C_s V (assumindo que todo o sólido fica retido). Logo volume limite até atingir m_{\text{torta,lim}}=1000\\ \text{kg}:
V_{\max} = \frac{m_{\text{torta,lim}}}{C_s} = \frac{1000}{36{,}4}\approx 27{,}47\\ \text{m}^3.
Tempo para filtrar esse volume (usando a equação para t):
t(V_{\max}) \approx 120{,}77\cdot(27{,}4725)^{2} + 108{,}29\cdot(27{,}4725) \approx 94\,125\\ \text{s}\approx 26{,}15\\ \text{h}.
Interpretação: se deixarmos o filtro operar até atingir a torta de 1000\\ \text{kg}, precisaremos de cerca de 26 horas — ou seja, uma única carga que chegue ao limite demora mais de um dia. Isso não é prático para uma operação diária (e impede atender 60\\ \text{m}^3/\text{dia} numa janela de 24 h com um único equipamento).

Passo 7

Escolha operacional prática: operar por turnos de 8 horas (reestruturação do ciclo).
Como pedido, vamos otimizar para turnos de 8\\ \text{h}=28\,800\\ \text{s}. Para cada turno (começando com filtro limpo no início do turno) calculamos o volume V_{\text{turno}} resolvendo a quadrática
120{,}77\,V^{2} + 108{,}29\,V - 28\,800 = 0.
A solução positiva é
V_{\text{turno}} = \frac{-108{,}29 + \sqrt{108{,}29^{2} + 4\cdot120{,}77\cdot28\,800}}{2\cdot120{,}77}.
Cálculo numérico dá:
V_{\text{turno}} \approx 15{,}01\\ \text{m}^3\quad(\text{ou }15\,010\\ \text{L}).
Massa de torta acumulada nesse turno:
m_{\text{torta,turno}} = C_s V_{\text{turno}} \approx 36{,}4\cdot15{,}01 \approx 546{,}2\\ \text{kg},
ou seja, bem abaixo do limite de 1000\\ \text{kg}. Logo é seguro operar um turno inteiro sem descarregar.

Passo 8

Rendimento diário com turnos de 8 h e descarregamentos de 10 min entre turnos.
Se colocarmos 3 turnos de 8 horas (operação contínua 24 h) e realizarmos os descarregamentos entre turnos, haverá 2 descarregamentos “dentro do dia” (entre turno 1→2 e 2→3) que ocupam 2\times600=1200\\ \text{s} no dia; o descarregamento ao fim do 3.º turno pode ser feito no início do dia seguinte e, portanto, não diminui a produção do dia corrente (modo usual de plantão). Assim o tempo efetivo de filtração disponível no dia é 86\,400-1200=85\,200\\ \text{s}. Reajustando para esse tempo (dividido por 3 turnos), o tempo médio por turno de filtração fica 85\,200/3\approx28\,400\\ \text{s}, o que leva a um volume por turno ligeiramente menor. Resolvendo para t=28\,400\\ \text{s} obtém-se:
V_{\text{turno,ajust}} \approx 14{,}90\\ \text{m}^3.
Produção diária aproximada:
V_{\text{dia}} \approx 3\cdot14{,}90 \approx 44{,}7\\ \text{m}^3 \;=\;44\,700\\ \text{L/dia}.
Observações:
  • Se desprezarmos pequenos ajustes de tempo e considerarmos cada turno completo com descarregamento de 10 min no fim de cada turno (ou seja, três ciclos “turno+descarregamento”), a estimativa rápida é 3\times15{,}01\approx45{,}03\\ \text{m}^3. O valor real prático fica em torno de 44{,}7- 45{,}0\\ \text{m}^3/\text{dia}.
  • Conclusão direta: com um único filtro de 48\\ \text{m}^2 e os dados fornecidos NÃO é possível atingir 60\\ \text{m}^3/\text{dia}. A capacidade prática por dia é cerca de 44{,}7\\ \text{m}^3 (≈44 700 L).

Passo 9

Cronograma de trabalho otimizado (turnos de 8 h) e recomendações operacionais.
Plano operacional sugerido (prático e simples):
  • Organização: três equipes, cada uma responsável por um turno de 8\\ \text{h} (turno A, B, C) para operação contínua 24 h.
  • Procedimento por turno:
    • Início do turno: assumir operação com filtro limpo (ou após descarregamento feito no final do turno anterior).
    • Filtração contínua por ~ 8\\ \text{h} (na prática, devido a descarregamentos entre turnos, cada turno terá cerca de 7{,}9 a 8{,}0\\ \text{h} de filtração).
    • No fim do turno (ou entre turnos): realizar montagem/descarregamento (limpeza/retirada da torta) em 10\\ \text{min}.
  • Resultados previstos por turno (valores arredondados e fáceis de acompanhar):
    • Volume filtrado por turno: aproximadamente \;15{,}0\\ \text{m}^3 (15 000 L) bruto; no ajuste diário com dois descarregamentos internos dá ~ 14{,}9\\ \text{m}^3.
    • Massa de torta ao final do turno: aproximadamente \;546\\ \text{kg} — abaixo do limite de 1000\\ \text{kg}.
  • Produção diária prevista (com 3 turnos): aproximadamente \;44{,}7\\ \text{m}^3/\text{dia} ( \approx 44\,700\\ \text{L/dia}).
  • Para manter operação estável registre ao final de cada turno: volume filtrado, tempo acumulado, massa de torta estimada. Descarregue sempre quando se aproximar de 1000\\ \text{kg} caso haja variação da concentração.
Recomendações para atingir a demanda do cliente ( 60\\ \text{m}^3/\text{dia}):
  • Opção 1 (recomendada do ponto de vista operacional): adquirir/instalar um segundo filtro prensa equivalente. Com dois filtros operando em paralelo no mesmo esquema de 3 turnos, a capacidade seria ~ 2\times44{,}7\approx89{,}4\\ \text{m}^3/\text{dia}, suficiente para os 60\\ \text{m}^3 e com margem.
  • Opção 2 (se técnica e segura): aumentar a pressão de filtração \Delta P. Como o tempo de filtração é aproximadamente inversamente proporcional a \Delta P, para elevar a produção de \approx44{,}7 para 60\\ \text{m}^3 seria necessário aumentar \Delta P por um fator aproximado \dfrac{60}{44{,}7}\approx1{,}342. Assim \Delta P_{\text{novo}}\approx50\,800\times1{,}342\approx68{,}200\\ \text{Pa}. Antes de aplicar isso é mandatório checar limites mecânicos/segurança do filtro prensa e do sistema de bombeamento.
  • Opção 3 (menos eficiente): aceitar produção menor por dia e negociar com o cliente entregas escalonadas (p. ex. 44,7 m^3/dia), ou operar horas extras (turnos adicionais além dos 24 h padrão), pagando horas extras.

Resposta

Turno A (0–8 h): filtrar aproximadamente \;15{,}0\\ \text{m}^3 ( 15\,000\\ \text{L}), massa de torta acumulada ≈ \;546\\ \text{kg}.
Turno B (8–16 h): filtrar aproximadamente \;15{,}0\\ \text{m}^3 ( 15\,000\\ \text{L}), massa de torta acumulada ≈ \;546\\ \text{kg}.
Turno C (16–24 h): filtrar aproximadamente \;14{,}9\\ \text{m}^3 ( 14\,900\\ \text{L}), massa de torta acumulada ≈ \;543\\ \text{kg}.
Descarregamentos: 10\\ \text{min} entre turnos (procedimento padrão).
Produção diária total prevista (3 turnos): aproximadamente \;44{,}7\\ \text{m}^3/\text{dia} ( 44\,700\\ \text{L/dia}) — não atende 60{,}0\\ \text{m}^3/\text{dia} com um único filtro.
Sugestão para atender 60\\ \text{m}^3/\text{dia}: instalar um segundo filtro prensa equivalente (recomendado) ou, se seguro, aumentar \Delta P para aproximadamente \;6{,}8\times10^{4}\\ \text{Pa} após verificação de integridade mecânica.

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