Você é engenheiro chefe de uma usina de etanol na região da Grande Dourados e identificou que há um filtro prensa de 48 metros quadrados disponivel e sem utilidade devido a uma mudança de processo que ocorreu no ano passado. Para aproveitar o equipamento e os funcionários você propõe que a usina possa oferecer um serviço de filtração para outras empresas da região. As empresas da localidade acharam interessante e trouxeram amostras de suspensões a serem filtradas. Uma das empresas foram selecionadas por sua equipe
os testes realizados no laboratório são apresentados na tabela abaixo. A empresa A precisa filtrar um volume de 60000 litros da suspensão por dia. A torta não precisa ser lavada. O filtro deve ser descarregado quando a massa de torta seca no filtro atingir 1000 kg . Considere - ciclo de montagem e descarregamento de 10 minutos. Empresa A: viscosidade
Pa.s; área filtro do laboratório
; Diferença de pressão=50800 Pa;
Baseado nos dados disponíveis apresente um cronograma de trabalho para sua equipe otimizando o processo de filtração com turnos de 8 horas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela da imagem e de texto do enunciado):
- Vontade do cliente: filtrar
. - Massa seca de torta ao descarregar:
. - Tempo de montagem/descarregamento por ciclo:
. - Viscosidade do líquido:
. - Diferença de pressão usada nos testes:
. - Concentração de sólidos na suspensão:
. - Área do filtro de laboratório (usada nos testes):
. - Área do filtro prensa disponível:
. - Tabela experimental (peguei da imagem): pares (tempo de filtração em segundos, volume coletado em mL):
.
O que o enunciado pede:
- Apresentar um cronograma de trabalho (turnos de 8 horas) para otimizar o processo de filtração com o filtro prensa de
, usando os dados de laboratório. Se houver limitação (por ex. incapacidade de cumprir os com um único equipamento), indicar isso e propor opções.
Passo 2
Modelo físico usado (explicado passo a passo).
Na filtração a pressão constante, a teoria clássica (filtração de cake incompresível) dá a relação entre o tempo acumulado
e o volume filtrado
:
onde:
-
é o tempo de filtração (s); -
é o volume filtrado (m^3); -
é a viscosidade (Pa·s); -
é a resistência específica do cake (m/kg) — quantifica quão “densa”/resistiva é a torta por unidade de massa; -
é a concentração de sólidos no líquido (kg/m^3); -
é a área de filtragem (m^2); -
é a pressão diferencial aplicada (Pa); -
é a resistência do meio filtrante (m^{-1}).
Essa expressão é quadrática em
. Para linearizar e obter parâmetros experimentais, divide-se por
(para
):
Ou seja, um gráfico de
versus
é aproximadamente uma reta; o coeficiente angular dá
(quando
são conhecidos) e o coeficiente linear dá
.
Vou usar essa rota: dos dados de laboratório obter uma reta
, extrair
, achar
e
, e então escalar para a área real
. Com isso podemos prever tempos por volume no filtro de 48 m^2 e montar o cronograma.
Passo 3
Preparação dos dados de laboratório e ajuste linear (t/V versus V).
-
Converto os volumes da tabela de mL para m^3:
. Assim, por exemplo . -
Para cada par
calculo (unidade: s/m^3). Como exemplo numérico:
- Para
: e . - Para
: .
- Faço um ajuste linear simples (pelo método de dois pontos extremos dá boa aproximação aqui). Usando o primeiro e o último ponto obtive a reta:
com os valores (números calculados passo a passo):
(Detalhe: unidades do coeficiente angular são
porque se V está em m^3 e
em s/m^3.)
Passo 4
Extração de
e
a partir dos coeficientes da reta.
Das fórmulas:
Isolando
e
:
Substituindo números (mostrando cada passo numérico):
-
→ . - Numerador para
: . - Denominador:
. - Assim
Para
:
-
. - Numerador
. - Dividindo por
dá
Interpretação: valores altos de
e
significam que a torta e o meio filtrante oferecem resistência significativa, o que explica tempos crescentes com o volume.
Passo 5
Escalonamento para a área do filtro prensa (48 m^2).
As quantidades na equação escalam com a área como segue:
- O coeficiente quadrático (
) depende de : . - O coeficiente linear (
) depende de : .
Assim:
Cálculo numérico:
Portanto:
Logo, para o filtro de
a relação
(com
em m^3 e
em s) é:
Passo 6
Volume máximo permitido pela massa de torta e tempo de filtração correspondente.
A massa de torta seca acumulada é
(assumindo que todo o sólido fica retido). Logo volume limite até atingir
:
Tempo para filtrar esse volume (usando a equação para
):
Interpretação: se deixarmos o filtro operar até atingir a torta de
, precisaremos de cerca de
horas — ou seja, uma única carga que chegue ao limite demora mais de um dia. Isso não é prático para uma operação diária (e impede atender
numa janela de 24 h com um único equipamento).
Passo 7
Escolha operacional prática: operar por turnos de 8 horas (reestruturação do ciclo).
Como pedido, vamos otimizar para turnos de
. Para cada turno (começando com filtro limpo no início do turno) calculamos o volume
resolvendo a quadrática
A solução positiva é
Cálculo numérico dá:
Massa de torta acumulada nesse turno:
ou seja, bem abaixo do limite de
. Logo é seguro operar um turno inteiro sem descarregar.
Passo 8
Rendimento diário com turnos de 8 h e descarregamentos de 10 min entre turnos.
Se colocarmos 3 turnos de 8 horas (operação contínua 24 h) e realizarmos os descarregamentos entre turnos, haverá 2 descarregamentos “dentro do dia” (entre turno 1→2 e 2→3) que ocupam
no dia; o descarregamento ao fim do 3.º turno pode ser feito no início do dia seguinte e, portanto, não diminui a produção do dia corrente (modo usual de plantão). Assim o tempo efetivo de filtração disponível no dia é
. Reajustando para esse tempo (dividido por 3 turnos), o tempo médio por turno de filtração fica
, o que leva a um volume por turno ligeiramente menor. Resolvendo para
obtém-se:
Produção diária aproximada:
Observações:
- Se desprezarmos pequenos ajustes de tempo e considerarmos cada turno completo com descarregamento de 10 min no fim de cada turno (ou seja, três ciclos “turno+descarregamento”), a estimativa rápida é
. O valor real prático fica em torno de - . - Conclusão direta: com um único filtro de
e os dados fornecidos NÃO é possível atingir . A capacidade prática por dia é cerca de (≈44 700 L).
Passo 9
Cronograma de trabalho otimizado (turnos de 8 h) e recomendações operacionais.
Plano operacional sugerido (prático e simples):
- Organização: três equipes, cada uma responsável por um turno de
(turno A, B, C) para operação contínua 24 h. - Procedimento por turno:
- Início do turno: assumir operação com filtro limpo (ou após descarregamento feito no final do turno anterior).
- Filtração contínua por ~
(na prática, devido a descarregamentos entre turnos, cada turno terá cerca de a de filtração). - No fim do turno (ou entre turnos): realizar montagem/descarregamento (limpeza/retirada da torta) em
.
- Resultados previstos por turno (valores arredondados e fáceis de acompanhar):
- Volume filtrado por turno: aproximadamente
(15 000 L) bruto; no ajuste diário com dois descarregamentos internos dá ~ . - Massa de torta ao final do turno: aproximadamente
— abaixo do limite de .
- Volume filtrado por turno: aproximadamente
- Produção diária prevista (com 3 turnos): aproximadamente
( ). - Para manter operação estável registre ao final de cada turno: volume filtrado, tempo acumulado, massa de torta estimada. Descarregue sempre quando se aproximar de
caso haja variação da concentração.
Recomendações para atingir a demanda do cliente (
):
- Opção 1 (recomendada do ponto de vista operacional): adquirir/instalar um segundo filtro prensa equivalente. Com dois filtros operando em paralelo no mesmo esquema de 3 turnos, a capacidade seria ~
, suficiente para os e com margem. - Opção 2 (se técnica e segura): aumentar a pressão de filtração
. Como o tempo de filtração é aproximadamente inversamente proporcional a , para elevar a produção de para seria necessário aumentar por um fator aproximado . Assim . Antes de aplicar isso é mandatório checar limites mecânicos/segurança do filtro prensa e do sistema de bombeamento. - Opção 3 (menos eficiente): aceitar produção menor por dia e negociar com o cliente entregas escalonadas (p. ex. 44,7 m^3/dia), ou operar horas extras (turnos adicionais além dos 24 h padrão), pagando horas extras.
Resposta
Turno A (0–8 h): filtrar aproximadamente
(
), massa de torta acumulada ≈
.
Turno B (8–16 h): filtrar aproximadamente (
), massa de torta acumulada ≈
.
Turno C (16–24 h): filtrar aproximadamente (
), massa de torta acumulada ≈
.
Descarregamentos: entre turnos (procedimento padrão).
Produção diária total prevista (3 turnos): aproximadamente (
) — não atende
com um único filtro.
Sugestão para atender : instalar um segundo filtro prensa equivalente (recomendado) ou, se seguro, aumentar
para aproximadamente
após verificação de integridade mecânica.
Turno B (8–16 h): filtrar aproximadamente
Turno C (16–24 h): filtrar aproximadamente
Descarregamentos:
Produção diária total prevista (3 turnos): aproximadamente
Sugestão para atender