Você lança quantas moedas ao ar simultaneamente e registra o número de caras e o número de coroas que resultam. Prepare uma tabela que relaciona cada macroestado e cada um dos microestados incluídos nele. Por exemplo, dois microestados CaCaCoCa e CaCoCaCa, junto com mais alguns outros, estão incluídos no macroestado de três caras e uma coroa. (a) Com base em sua tabela, qual é o resultado mais provável registrado para um lançamento de quatro moedas? Em termos de entropia, (b) qual é o macroestado mais ordenado e © qual é o mais desordenado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é sobre lançar quatro moedas ao mesmo tempo e analisar os possíveis resultados. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade, como macroestado (quantas caras e coroas aparecem) e microestado (as combinações específicas das caras e coroas). Também vamos tocar um pouquinho em entropia, que está ligada à desordem dos sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os macrostados possíveis quando lançamos quatro moedas. Cada macroestado é definido pelo número de caras (Ca) e coroas (Co) que aparecem. Como estamos lançando quatro moedas, os possíveis macrostados são:
  • 0 caras e 4 coroas
  • 1 cara e 3 coroas
  • 2 caras e 2 coroas
  • 3 caras e 1 coroa
  • 4 caras e 0 coroas

Passo 3

Agora, para cada macroestado, vamos identificar quantos microestados existem. Um microestado é uma combinação específica das moedas mostrando cara ou coroa. Por exemplo, para 2 caras e 2 coroas, alguns microestados são CaCaCoCa, CaCoCaCa, etc.
Para calcular o número de microestados em cada macroestado, usamos a combinação matemática, que nos diz de quantas maneiras podemos escolher k caras em 4 lançamentos. A fórmula é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde $ n = 4 $ (número total de moedas) e $ k $ é o número de caras.
Vamos calcular para cada macroestado:
  • 0 caras e 4 coroas:
    n = 4
    Só tem um microestado: CoCoCoCo.
  • 1 cara e 3 coroas:
    k
    Quatro microestados, como CaCoCoCo, CoCaCoCo, etc.
  • 2 caras e 2 coroas:
    C(4, 0) = 4!0!4! = 1
    Seis microestados diferentes.
  • 3 caras e 1 coroa:
    C(4, 1) = 4!1!3! = 4
    Quatro microestados.
  • 4 caras e 0 coroas:
    C(4, 2) = 4!2!2! = 6
    Um microestado: CaCaCaCa.

Passo 4

Agora que temos a tabela completa, vamos dá uma olhada nela:
Macroestado Número de Microestados
0 Ca, 4 Co 1
1 Ca, 3 Co 4
2 Ca, 2 Co 6
3 Ca, 1 Co 4
4 Ca, 0 Co 1

Passo 5

Parte (a): Qual é o resultado mais provável registrado para um lançamento de quatro moedas?
O resultado mais provável é aquele com o maior número de microestados, porque tem mais combinações possíveis de aparecer. Olhando para a tabela, vemos que o macroestado de 2 caras e 2 coroas tem 6 microestados, que é o maior número. Portanto, é o resultado mais provável.

Passo 6

Parte (b): Em termos de entropia, qual é o macroestado mais ordenado?
Entropia está relacionada com a desordem do sistema. Quanto menos microestados um macroestado tem, menor é a sua entropia, ou seja, mais ordenado ele é. Na nossa tabela, os macrostados com 0 caras e 4 coroas e 4 caras e 0 coroas têm apenas 1 microestado cada. Assim, esses são os macrostados mais ordenados.

Passo 7

Parte ©: Qual é o macroestado mais desordenado?
O mais desordenado é aquele com maior entropia, ou seja, o que tem mais microestados. Como vimos antes, o macroestado de 2 caras e 2 coroas tem 6 microestados, o maior número da nossa tabela. Portanto, é o macroestado mais desordenado.

Resposta

(a) O resultado mais provável é ter 2 caras e 2 coroas.
(b) Os macrostados mais ordenados são 0 caras e 4 coroas e 4 caras e 0 coroas.
© O macroestado mais desordenado é 2 caras e 2 coroas.

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