Uma voltagem v(t)=100 cdot sen(1000 cdot t-30^circ) é aplicada um determinado circuito que responde com uma corrente i(t)=20 cdot sen(1000 cdot t+30^circ).
Determinar a impedância equivalente deste circuito, bem como os seus componentes físicos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma voltagem e uma corrente que variam no tempo com certa frequência e diferença de fase. A matéria que vamos usar aqui é sobre circuitos de corrente alternada (AC) e, mais especificamente, sobre impedância elétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a voltagem e a corrente em termos de impedância e analisar a diferença de fase entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as expressões da voltagem e da corrente:
v(t) = 100 cdot sin(1000 cdot t - 30^circ)
i(t) = 20 cdot sin(1000 cdot t + 30^circ)
Aqui, ambos têm a mesma frequência angular, que é $ \omega = 1000 , rad/s $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a impedância $ Z $ em um circuito AC é dada pela relação entre a amplitude da voltagem $ V $ e a amplitude da corrente $ I $, além da diferença de fase $ \phi $ entre elas:
Z
Precisamos encontrar $ V $, $ I $ e $ \phi $ a partir das expressões dadas.

Passo 4

Identificando as amplitudes e a fase:
  • Amplitude da voltagem: $ V = 100 , V $
  • Amplitude da corrente: $ I = 20 , A $
  • Diferença de fase: $ \phi = (-30^{\circ}) - (+30^{\circ}) = -60^{\circ} $
A diferença de fase negativa indica que a voltagem está atrasada em relação à corrente.

Passo 5

Agora, calculamos a magnitude da impedância:
|Z| = VI = 10020 = 5 , Omega
E a fase da impedância é $ -60^{\circ} $.
Então, a impedância em forma polar é:
-60^circ

Passo 6

Para entender os componentes físicos do circuito, vamos converter a impedância para forma retangular (complexa):
Z = |Z| (cos phi + j sin phi) = 5 (cos (-60^circ) + j sin (-60^circ))
Z = 5 (12 - j raiz32) = 2.5 - j 5raiz32
Isso significa que o circuito tem:
  • Um resistor de $ 2.5 , \Omega $
  • Um componente reativo com susceptância de $ -\frac{5\sqrt{3}}{2} , \Omega $, que indica a presença de um capacitor.

Resposta

A impedância equivalente do circuito é $ Z = 5 \angle -60^{\circ} , \Omega $, composta por um resistor de $ 2.5 , \Omega $ e um capacitor equivalente de $ \frac{5\sqrt{3}}{2} , \Omega $.

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