Se V(x, y, z) volts for o potencial elétrico num ponto (x, y, z) do espaço tridimensional e
V(x, y, z) = 1 / raiz(x^2 + y^2 + z^2)
ache:
(a) a taxa de variação de V no ponto (2, 2, -1), na direção do vetor u = (2, -3, 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um potencial elétrico e pede para a gente achar a taxa de variação desse potencial no ponto na direção do vetor . Vamos usar cálculo de derivadas direcionais pra resolver isso. O que precisamos fazer inclui calcular o gradiente de , normalizar o vetor e depois aplicar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a , e . Então, vamos achar , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Usando a regra da cadeia:
De maneira semelhante:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, vamos normalizar o vetor . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Por fim, a derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente por :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é volts por unidade de distância.

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