Se
volts for o potencial elétrico num ponto
do espaço tridimensional e
ache:
(a) a taxa de variação de
no ponto
, na direção do vetor
(a) a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um potencial elétrico
e pede para a gente achar a taxa de variação desse potencial no ponto
na direção do vetor
. Vamos usar cálculo de derivadas direcionais pra resolver isso. O que precisamos fazer inclui calcular o gradiente de
, normalizar o vetor
e depois aplicar a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Então, vamos achar
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Usando a regra da cadeia:
De maneira semelhante:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos
:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Agora, vamos normalizar o vetor
. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Por fim, a derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente por
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
volts por unidade de distância.