Um volume rígido e isolado contém ar a
e 200 kPa . Uma hélice inserida no volume produz 720 kJ de trabalho no ar. Se o volume é
, calcule o aumento da entropia pressupondo calores específicos constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Termodinâmica envolvendo um volume rígido e isolado que contém ar a 20°C e 200 kPa. Uma hélice faz 720 kJ de trabalho no ar, e o volume é de 2 m³. A missão é calcular o aumento da entropia, supondo que os calores específicos do ar são constantes.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de primeira lei da termodinâmica e entropia. Vamos passo a passo entender o que está acontecendo e como aplicar as fórmulas necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos listar o que já sabemos:
- Temperatura inicial, $ T_1 = 20°C = 293,15 $ K
- Pressão inicial, $ P_1 = 200 $ kPa
- Trabalho realizado, $ W = 720 $ kJ
- Volume, $ V = 2 $ m³
- Calores específicos constantes assumidos para o ar.
Passo 3
Como o volume é rígido e o sistema é isolado, isso significa que não tem troca de calor com o ambiente ($ Q = 0
\Delta V = 0 $). A primeira lei da termodinâmica nos diz:
Como $ Q = 0 $, então:
Isso significa que a variação da energia interna ($ \Delta U $) é igual ao trabalho realizado sobre o sistema.
Passo 4
Para um gás ideal com calores específicos constantes, a variação da energia interna está relacionada à variação de temperatura pela fórmula:
Onde:
- $ m $ é a massa do ar
- $ C_v $ é o calor específico a volume constante
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura
Mas antes disso, precisamos encontrar a massa do ar no volume de 2 m³. Para isso, usamos a equação dos gases ideais:
Rearranjando para encontrar $ m $:
Assumindo que $ R = 0,287 $ kJ/kg·K para o ar.
Passo 5
Vamos calcular a massa do ar:
Passo 6
Agora, usando a primeira lei da termodinâmica:
Resolvendo para $ \Delta T $:
Precisamos do valor de $ C_v $ para o ar, que é aproximadamente $ 0,718 $ kJ/kg·K.
Passo 7
Calculando $ \Delta T $:
Então, a temperatura final $ T_2 = T_1 + \Delta T = 293,15 , K + 210,6 , K \approx 503,75 , K $
Passo 8
Agora, vamos calcular o aumento da entropia ($ \Delta S $). Para um processo a volume constante com calores específicos constantes, a variação de entropia é dada por:
Passo 9
Substituindo os valores:
Calculando o logaritmo:
Então:
Resposta
O aumento da entropia é aproximadamente $ 1,84 , kJ/K $.