Um volume rígido e isolado contém ar a 20 ^circ C e 200 kPa . Uma hélice inserida no volume produz 720 kJ de trabalho no ar. Se o volume é 2 m^3, calcule o aumento da entropia pressupondo calores específicos constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Termodinâmica envolvendo um volume rígido e isolado que contém ar a 20°C e 200 kPa. Uma hélice faz 720 kJ de trabalho no ar, e o volume é de 2 m³. A missão é calcular o aumento da entropia, supondo que os calores específicos do ar são constantes.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de primeira lei da termodinâmica e entropia. Vamos passo a passo entender o que está acontecendo e como aplicar as fórmulas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que já sabemos:
  • Temperatura inicial, $ T_1 = 20°C = 293,15 $ K
  • Pressão inicial, $ P_1 = 200 $ kPa
  • Trabalho realizado, $ W = 720 $ kJ
  • Volume, $ V = 2 $ m³
  • Calores específicos constantes assumidos para o ar.

Passo 3

Como o volume é rígido e o sistema é isolado, isso significa que não tem troca de calor com o ambiente ($ Q = 0 Q = 0 ã \Delta V = 0 $). A primeira lei da termodinâmica nos diz:
De
Como $ Q = 0 $, então:
De
Isso significa que a variação da energia interna ($ \Delta U $) é igual ao trabalho realizado sobre o sistema.

Passo 4

Para um gás ideal com calores específicos constantes, a variação da energia interna está relacionada à variação de temperatura pela fórmula:
De
Onde:
  • $ m $ é a massa do ar
  • $ C_v $ é o calor específico a volume constante
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura
Mas antes disso, precisamos encontrar a massa do ar no volume de 2 m³. Para isso, usamos a equação dos gases ideais:
m
Rearranjando para encontrar $ m $:
Cv
Assumindo que $ R = 0,287 $ kJ/kg·K para o ar.

Passo 5

Vamos calcular a massa do ar:
m = 200 , kPa times 2 , m^30,287 , kJ/kg·K times 293,15 , K approx 40084,25 approx 4,75 , kg

Passo 6

Agora, usando a primeira lei da termodinâmica:
De
Resolvendo para $ \Delta T $:
De
Precisamos do valor de $ C_v $ para o ar, que é aproximadamente $ 0,718 $ kJ/kg·K.

Passo 7

Calculando $ \Delta T $:
De
Então, a temperatura final $ T_2 = T_1 + \Delta T = 293,15 , K + 210,6 , K \approx 503,75 , K $

Passo 8

Agora, vamos calcular o aumento da entropia ($ \Delta S $). Para um processo a volume constante com calores específicos constantes, a variação de entropia é dada por:
De

Passo 9

Substituindo os valores:
De
Calculando o logaritmo:
ln(503,75293,15) approx ln(1,718) approx 0,542
Então:
De

Resposta

O aumento da entropia é aproximadamente $ 1,84 , kJ/K $.

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