O volume do sólido sob a superfície
e acima do retângulo
é dado por:
Calcule V.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume
do sólido sob a superfície
e acima do retângulo dado por
. Foi dada a integral dupla
Informações relevantes:
- O integrando é
. - O retângulo de integração tem
variando de a e variando de a . - A ordem de integração é primeiro em
(integral interna) e depois em (integral externa).
Passo 2
Vamos integrar primeiro em relação a
. Importante: ao integrar em relação a
, tratamos
como uma constante (porque
não depende de
). Uma propriedade útil é que uma constante pode ser fatorada para fora da integral. Ou seja,
Agora precisamos saber a antiderivada de
. A regra básica é que
onde
é a constante de integração (que não precisamos aqui porque faremos integral definida).
Passo 3
Aplicando a antiderivada no intervalo de
de
a
, temos
Calculando os extremos,
Portanto a integral interna fica
Passo 4
Agora substituímos esse resultado na integral externa e integramos em relação a
:
A constante
pode sair da integral:
A antiderivada de
é
. Então
Assim
Passo 5
Resumo rápido do cálculo sem pular etapas: