O volume do sólido sob a superfície z=x y e acima do retângulo 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 3 é dado por:
V=\int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x y d y d x
Calcule V.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume V do sólido sob a superfície z=xy e acima do retângulo dado por 0 \leqslant x \leqslant 2,\;0 \leqslant y \leqslant 3. Foi dada a integral dupla
V=\int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x y \, d y \, d x
Informações relevantes:
  • O integrando é x y.
  • O retângulo de integração tem x variando de 0 a 2 e y variando de 0 a 3.
  • A ordem de integração é primeiro em y (integral interna) e depois em x (integral externa).

Passo 2

Vamos integrar primeiro em relação a y. Importante: ao integrar em relação a y, tratamos x como uma constante (porque x não depende de y). Uma propriedade útil é que uma constante pode ser fatorada para fora da integral. Ou seja,
\int_{0}^{3} x y \, d y = x \int_{0}^{3} y \, d y.
Agora precisamos saber a antiderivada de y. A regra básica é que
\int y \, d y = \frac{y^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (que não precisamos aqui porque faremos integral definida).

Passo 3

Aplicando a antiderivada no intervalo de y de 0 a 3, temos
\int_{0}^{3} x y \, d y = x \left[ \frac{y^{2}}{2} \right]_{0}^{3}.
Calculando os extremos,
\left[ \frac{y^{2}}{2} \right]_{0}^{3} = \frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = \frac{9}{2}.
Portanto a integral interna fica
\int_{0}^{3} x y \, d y = x \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{2} x.

Passo 4

Agora substituímos esse resultado na integral externa e integramos em relação a x:
V = \int_{0}^{2} \frac{9}{2} x \, d x.
A constante \frac{9}{2} pode sair da integral:
V = \frac{9}{2} \int_{0}^{2} x \, d x.
A antiderivada de x é \frac{x^{2}}{2}. Então
\int_{0}^{2} x \, d x = \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2} - 0 = \frac{4}{2} = 2.
Assim
V = \frac{9}{2} \cdot 2 = 9.

Passo 5

Resumo rápido do cálculo sem pular etapas:
V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{3} x y \, d y \, d x = \int_{0}^{2} \left( x \int_{0}^{3} y \, d y \right) d x = \int_{0}^{2} \left( x \cdot \frac{9}{2} \right) d x = \frac{9}{2} \int_{0}^{2} x \, d x = \frac{9}{2} \cdot 2 =9.

Resposta

9