O volume, v, de uma superfície de revolução gerada por uma curva contínua f(x), a <= x <= b, em torno do eixo y=0, é dada por v=pi integrala^b f(x)^2 d x. Obtenha o volume da(o):
sólido de revolução da parábola cúbica y=x^3,-2 <= x <= 2, em torno do eixo y=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a parábola cúbica $ y = x^3 $ no intervalo de $ x = -2 $ até $ x = 2 $ em torno do eixo $ y = -1 $. Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente a fórmula da integral para calcular isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. Quando giramos uma curva em torno de um eixo horizontal que não é o eixo $ y = 0 $, a fórmula para o volume $ V $ é:
y = 0
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a curva (no nosso caso, $ y = x^3 $), $ k $ é a posição do eixo de rotação (no caso, $ y = -1 $), e $ a $ e $ b $ são os limites de $ x $.

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:
  • $ f(x) = x^3 $
  • $ k = -1 $
  • $ a = -2 $
  • $ b = 2 $
Substituindo na fórmula, temos:
f(x) = x^3

Passo 4

Agora, vamos expandir o termo $ (x^3 + 1)^2 $:
(x^3 + 1)^2
Então, a integral fica:
(x^3 + 1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1

Passo 5

Vamos calcular a integral termo a termo:
  1. integral x^6 , dx = x^77
  2. integral 2x^3 , dx = 2x^44 = x^42
  3. integral 1 , dx = x
Então, a antiderivada é:
x^77 + x^42 + x

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de $ -2 $ a $ 2 $:
Para $ x = 2 $:
-2
Para $ x = -2 $:
2
Subtraindo os dois resultados:
x = 2

Passo 7

Agora, multiplicamos esse resultado por $ \pi $ para encontrar o volume:
pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{284\pi}{7} $ unidades cúbicas, aproximadamente igual a $ 40.57\pi $ unidades cúbicas.

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