O volume,
, de uma superfície de revolução gerada por uma curva contínua
, em torno do eixo
, é dada por
. Obtenha o volume da(o):
sólido de revolução da parábola cúbica
, em torno do eixo
sólido de revolução da parábola cúbica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a parábola cúbica $ y = x^3 $ no intervalo de $ x = -2 $ até $ x = 2 $ em torno do eixo $ y = -1 $. Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente a fórmula da integral para calcular isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. Quando giramos uma curva em torno de um eixo horizontal que não é o eixo $ y = 0 $, a fórmula para o volume $ V $ é:
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a curva (no nosso caso, $ y = x^3 $), $ k $ é a posição do eixo de rotação (no caso, $ y = -1 $), e $ a $ e $ b $ são os limites de $ x $.
Passo 3
Vamos identificar os valores que precisamos:
- $ f(x) = x^3 $
- $ k = -1 $
- $ a = -2 $
- $ b = 2 $
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir o termo $ (x^3 + 1)^2 $:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de $ -2 $ a $ 2 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Subtraindo os dois resultados:
Passo 7
Agora, multiplicamos esse resultado por $ \pi $ para encontrar o volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{284\pi}{7} $ unidades cúbicas, aproximadamente igual a $ 40.57\pi $ unidades cúbicas.