Water flows past a flat plate that is aligned parallel to the flow. The upstream velocity of the water is 1.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, and the kinematic viscosity of water is given as 1.12 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
(a) At what approximate distance downstream from the leading edge does the boundary layer transition to turbulence, assuming the critical Reynolds number for transition is 4 \times 10^{5} ?
(b) Calculate the boundary layer thickness at this transition location.
(c) Explain why the Reynolds number is used to determine the location of transition from laminar to turbulent flow. Discuss how changes in velocity or fluid properties influence the Reynolds number and the behavior of the boundary layer.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Velocidade a montante: U_{\infty}=1,2\\ \mathrm{m/s}.
  • Viscosidade cinemática da água: \nu=1,12\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Número de Reynolds crítico para transição: \mathrm{Re}_{\text{crit}}=4\times10^{5}.
O enunciado pede:
(a) A distância x a partir da aresta de ataque (leading edge) em que a camada limítrofe transita para turbulenta, assumindo que a transição ocorre quando o número de Reynolds local atinge \mathrm{Re}_{\text{crit}}.
(b) A espessura da camada limite \delta naquele ponto de transição.
(c) Uma explicação por que o número de Reynolds é usado para determinar a transição e como variações de velocidade ou propriedades do fluido influenciam o número de Reynolds e o comportamento da camada limite.

Passo 2

Definição e ideia básica do número de Reynolds aplicado a uma posição x sobre a placa.
  • O número de Reynolds local baseado na posição x é definido por
\mathrm{Re}_{x}=\frac{U_{\infty}\,x}{\nu},
onde:
  • U_{\infty} é a velocidade livre (magnitude da velocidade do escoamento distante da placa), em \mathrm{m/s}.
  • x é a distância desde a aresta de ataque até o ponto considerado, em \mathrm{m}.
  • \nu é a viscosidade cinemática do fluido, em \mathrm{m^{2}/s}.
  • Conceito físico curto (aula curta): \mathrm{Re}_{x} mede a razão entre forças inerciais que tendem a criar instabilidades e forças viscosas que estabilizam o escoamento. Quando \mathrm{Re}_{x} fica suficientemente grande as instabilidades se amplificam e a camada limite laminar tende a transitar para turbulenta. Por isso usa-se um valor crítico \mathrm{Re}_{\text{crit}} para estimar a posição de transição.

Passo 3

Calcular a posição de transição x_{\text{crit}} impondo \mathrm{Re}_{x}=\mathrm{Re}_{\text{crit}}.
Partindo de \mathrm{Re}_{x}=\dfrac{U_{\infty}x}{\nu} e impondo \mathrm{Re}_{x}=\mathrm{Re}_{\text{crit}}, isolamos x:
x_{\text{crit}}=\frac{\mathrm{Re}_{\text{crit}}\;\nu}{U_{\infty}}.
Agora substituímos os números (tudo em TeX):
x_{\text{crit}}=\frac{4\times10^{5}\times 1,12\times10^{-6}}{1,2}\\ \mathrm{m}.
Calcule passo a passo:
4\times10^{5}\times 1,12\times10^{-6}=4,48\times10^{-1}=0,448,
x_{\text{crit}}=\frac{0,448}{1,2}=0,373\overline{3}\\ \mathrm{m}\approx0,37\\ \mathrm{m}.
Interpretação numérica: a transição ocorre a cerca de 0,37\\ \mathrm{m} (ou 37\\ \mathrm{cm}) da aresta de ataque.

Passo 4

Fórmula usada para a espessura da camada limite laminar e sua origem rápida.
  • Para escoamento laminar sobre uma placa plana (solução de Blasius) costuma‑se definir a espessura da camada limite como a posição onde a velocidade atinge 99% da velocidade do fluxo livre. Essa espessura costuma ser chamada de \delta_{99} e a aproximação prática é
\delta_{99}\approx 5{,}0\;\sqrt{\frac{\nu\,x}{U_{\infty}}}
ou, equivalentemente,
\delta_{99}\approx \frac{5{,}0\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_{x}}}.
  • O fator 5{,}0 vem da solução numérica da equação de Blasius (valor mais precisamente cerca de 4{,}91), e a forma mostra que a espessura cresce com \sqrt{x} para escoamento laminar.

Passo 5

Calcular a espessura \delta no ponto de transição usando \mathrm{Re}_{x}=\mathrm{Re}_{\text{crit}}.
Usando a forma direta em termos de \mathrm{Re}_{x}:
\delta_{\text{crit}}=\frac{5{,}0\,x_{\text{crit}}}{\sqrt{\mathrm{Re}_{\text{crit}}}}.
Substituindo x_{\text{crit}}=0,373\overline{3}\\ \mathrm{m} e \mathrm{Re}_{\text{crit}}=4\times10^{5}:
\sqrt{\mathrm{Re}_{\text{crit}}}=\sqrt{4\times10^{5}}=2\times\sqrt{10^{5}}=2\times316{,}2277\ldots=632{,}4555\ldots
\delta_{\text{crit}}=\frac{5{,}0\times 0,373\overline{3}}{632{,}4555}\\ \mathrm{m}.
Cálculo numérico:
\delta_{\text{crit}}\approx 0,00295\\ \mathrm{m}=2{,}95\\ \mathrm{mm}.
(Verificação alternativa: usar \delta\approx5\sqrt{\nu x/U_{\infty}} leva ao mesmo resultado.)

Passo 6

Explicar por que o número de Reynolds determina a transição e como mudanças em velocidade/propriedades influenciam o comportamento.
  • Por que usar \mathrm{Re}: o número de Reynolds compara os termos inerciais ( \sim \rho U^{2}) com os termos viscosos ( \sim \mu U / L). Em termos simples, quando as forças inerciais são pequenas em relação às viscosas o escoamento tende a permanecer laminar (viscosidade “suprime” perturbações). Quando as forças inerciais superam suficientemente as viscosas, pequenas perturbações crescem e aparecem instabilidades que conduzem à transição para turbulência. Por isso existe um valor crítico aproximado de \mathrm{Re} que marca essa mudança para um dado tipo de problema (aqui, placa plana).
  • Como variações afetam \mathrm{Re}_{x} e a posição de transição:
    • Relação direta usada: x_{\text{crit}}=\dfrac{\mathrm{Re}_{\text{crit}}\;\nu}{U_{\infty}}. Assim x_{\text{crit}} varia proporcionalmente com \nu e inversamente com U_{\infty}.
    • Se a velocidade U_{\infty} aumenta (por exemplo dobra), o valor de \mathrm{Re}_{x} para uma mesma x aumenta na mesma razão; para atingir \mathrm{Re}_{\text{crit}} a uma posição menor — ou seja, a transição ocorre mais próxima da aresta. Exemplo rápido: se U_{\infty} dobra, x_{\text{crit}} fica pela metade.
    • Se a viscosidade cinemática \nu aumenta (fluido mais viscoso), \mathrm{Re}_{x} diminui para dado x e a transição ocorre mais a jusante (maior x_{\text{crit}}). Exemplo: duplicar \nu duplica x_{\text{crit}}.
    • Densidade e viscosidade dinâmica aparecem em \nu=\mu/\rho; portanto tanto mudanças na viscosidade dinâmica \mu quanto na densidade \rho influenciam \nu e, por consequência, \mathrm{Re}.
  • Observações práticas: o valor exato de transição também depende de rugosidade da superfície, nível de turbulência no escoamento livre, gradientes de pressão, imperfeições e perturbações externas. O uso de \mathrm{Re}_{\text{crit}} é uma estimativa útil quando essas condições são “típicas” (superfície lisa, níveis moderados de turbulência de fundo).

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (motivação):
  • Memorize: \mathrm{Re}_{x}=U_{\infty}x/\nu e x_{\text{crit}}=\mathrm{Re}_{\text{crit}}\nu/U_{\infty}.
  • Para camada limite laminar sobre placa: \delta_{99}\approx5\sqrt{\nu x/U_{\infty}}.
  • Faça contas com cuidado nas potências de 10 e mantenha unidades consistentes. Você já conseguiu — vai dar certo na prova!

Resposta

(a) x_{\text{crit}}\approx0,37\\ \mathrm{m}
(b) \delta_{\text{crit}}\approx0,00295\\ \mathrm{m}\approx2,95\\ \mathrm{mm}
(c) A transição é estimada pelo número de Reynolds porque ele mede a razão entre forças inerciais (que promovem instabilidades) e forças viscosas (que as suprimem); quando \mathrm{Re}_{x} atinge um valor crítico as instabilidades crescem e o escoamento torna‑se turbulento. Aumentar U_{\infty} aumenta \mathrm{Re}_{x} (levando a transição para mais perto da aresta), enquanto aumentar \nu diminui \mathrm{Re}_{x} (levando a transição para mais longe); outras condições (rugosidade, turbulência de fundo, gradiente de pressão) também afetam a posição real da transição.

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