$5 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=4$

$3 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=2$

O enunciado apresenta um sistema linear com duas equações e três incógnitas:

5x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=4,

3x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=2.

O conteúdo é resolução de sistemas lineares via eliminação de Gauss e interpretação de solução livre (infinitas soluções).

Para eliminar uma variável, subtraímos a segunda equação da primeira. Fazendo

\text{(E1)} - \text{(E2)}

(5x_{1}-3x_{1}) + (3x_{2}-3x_{2}) + (2x_{3}-2x_{3}) = 4-2

o que dá

2x_{1} = 2

e, portanto,

x_{1} = 1.

Substituímos

x_{1}=1

em uma das equações originais, por exemplo na segunda:

3\cdot1 + 3x_{2} + 2x_{3} = 2

3x_{2} + 2x_{3} = 2 - 3 = -1

x_{2} = \frac{-1 - 2x_{3}}{3}.

Como há três incógnitas e apenas duas equações, escolhemos

x_{3}

como parâmetro livre, digamos

x_{3}=t

, onde

t\in\mathbb{R}

. Assim:

x_{1} = 1,\quad x_{2} = \frac{-1 - 2t}{3},\quad x_{3} = t.

A solução geral do sistema é

\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) = \Bigl(1,\;-\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{3}t,\;t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

5 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=4 3 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=2