Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: encontrar todas as soluções reais
que satisfazem esta igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
real. - A função
tem imagem em . - A equação pode ser reescrita como
Passo 2
Primeira observação útil (restrição do domínio possível das soluções).
Como
, a igualdade
exige que
. Em particular,
Portanto qualquer solução real deve satisfazer
Passo 3
Outra observação sobre o sinal de
.
Da igualdade
vemos que o lado direito é sempre
(porque
). Logo
nas soluções. No intervalo já obtido
temos
exatamente para
(para
tem
e, portanto, não pode acontecer a igualdade, exceto em
que será verificada). Conclusão: as soluções possíveis estão em
.
Passo 4
Definir uma função conveniente e usar o teorema do valor intermediário (Bolzano) para localizar raízes.
Defina
A função
é contínua e diferenciável em
. Vamos avaliar
em pontos de
:
- Em
:
Logo
é uma solução.
- Em
:
Usando
(valor que pode ser lembrado ou aproximado), obtemos
- Em
:
Como
é contínua, entre
(onde
) e
(onde
) existe ao menos um zero por Bolzano. Já temos o zero em
. Portanto, até aqui identificamos pelo menos duas raízes em
: uma entre
e
e outra em
.
Passo 5
Provar que não existem mais raízes além dessas (unicidade das soluções encontradas no intervalo).
Calcule as derivadas de
:
Para
temos
, portanto
e
Logo
em todo
, isto é,
é estritamente convexa nessa faixa. Uma função estritamente convexa não pode cortar o eixo
em mais de duas posições (se cortasse em três pontos distintos teria que ser linear numa região entre os cortes, contradizendo estrita convexidade). Como já achámos duas raízes em
, não existem outras nesse intervalo. Como não há soluções fora de
(Passo 2) e em
não há soluções além de
, concluímos que não existem mais soluções reais.
Passo 6
Determinação numérica aproximada da raiz negativa (método numérico).
Vamos localizar a raiz entre
e
. Usando um método numérico (Newton ou bisseção) obtemos a aproximação. Aqui mostro uma iteração de Newton que converge rápido. A função e a derivada são
Escolhendo
temos (valores aproximados):
Aplicando Newton:
Uma segunda iteração (calculando
e
) dá a aproximação refinada
Verificação numérica rápida: substituindo
em
obtemos um valor muito próximo de zero (ordem
ou menor dependendo da precisão), confirmando que esta é a raiz negativa.