x^{2}+4 \sin x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+4\sin x=0
e pede: encontrar todas as soluções reais x que satisfazem esta igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x real.
  • A função \sin x tem imagem em [-1,1].
  • A equação pode ser reescrita como
\sin x = -\frac{x^{2}}{4}.

Passo 2

Primeira observação útil (restrição do domínio possível das soluções).
Como \sin x\in[-1,1], a igualdade \sin x=-\dfrac{x^{2}}{4} exige que -\dfrac{x^{2}}{4}\in[-1,1]. Em particular,
-\frac{x^{2}}{4}\ge -1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}\le 1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}\le 4.
Portanto qualquer solução real deve satisfazer
-2\le x\le 2.

Passo 3

Outra observação sobre o sinal de \sin x.
Da igualdade \sin x=-\dfrac{x^{2}}{4} vemos que o lado direito é sempre \le 0 (porque x^{2}\ge 0). Logo \sin x\le 0 nas soluções. No intervalo já obtido [-2,2] temos \sin x\le 0 exatamente para x\in[-2,0] (para 0<x\le2 tem \sin x>0 e, portanto, não pode acontecer a igualdade, exceto em x=0 que será verificada). Conclusão: as soluções possíveis estão em [-2,0].

Passo 4

Definir uma função conveniente e usar o teorema do valor intermediário (Bolzano) para localizar raízes.
Defina
f(x)=x^{2}+4\sin x.
A função f é contínua e diferenciável em \mathbb{R}. Vamos avaliar f em pontos de [-2,0]:
  • Em x=0:
f(0)=0^{2}+4\sin 0=0+0=0.
Logo x=0 é uma solução.
  • Em x=-2:
f(-2)=(-2)^{2}+4\sin(-2)=4+4\sin(-2).
Usando \sin(-2)\approx -0{,}909297 (valor que pode ser lembrado ou aproximado), obtemos
f(-2)\approx 4 + 4(-0{,}909297)=4 - 3{,}637188 = 0{,}362812>0.
  • Em x=-1:
f(-1)=1 + 4\sin(-1)=1 + 4(-0{,}841471) \approx 1 - 3{,}365884 = -2{,}365884<0.
Como f é contínua, entre x=-2 (onde f(-2)>0) e x=-1 (onde f(-1)<0) existe ao menos um zero por Bolzano. Já temos o zero em x=0. Portanto, até aqui identificamos pelo menos duas raízes em [-2,0]: uma entre -2 e -1 e outra em 0.

Passo 5

Provar que não existem mais raízes além dessas (unicidade das soluções encontradas no intervalo).
Calcule as derivadas de f:
f'(x)=2x+4\cos x,\qquad f''(x)=2-4\sin x.
Para x\in[-2,0] temos \sin x\in[-0{,}9093,0], portanto -4\sin x\in[0,3{,}6372] e
f''(x)=2-4\sin x \ge 2>0.
Logo f''(x)>0 em todo [-2,0], isto é, f é estritamente convexa nessa faixa. Uma função estritamente convexa não pode cortar o eixo x em mais de duas posições (se cortasse em três pontos distintos teria que ser linear numa região entre os cortes, contradizendo estrita convexidade). Como já achámos duas raízes em [-2,0], não existem outras nesse intervalo. Como não há soluções fora de [-2,2] (Passo 2) e em (0,2] não há soluções além de 0, concluímos que não existem mais soluções reais.

Passo 6

Determinação numérica aproximada da raiz negativa (método numérico).
Vamos localizar a raiz entre -2 e -1. Usando um método numérico (Newton ou bisseção) obtemos a aproximação. Aqui mostro uma iteração de Newton que converge rápido. A função e a derivada são
f(x)=x^{2}+4\sin x,\qquad f'(x)=2x+4\cos x.
Escolhendo x_{0}=-1{,}9 temos (valores aproximados):
f(-1{,}9)\approx -0{,}17520035,\qquad f'(-1{,}9)\approx -5{,}0931584.
Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}\approx -1{,}9 - \frac{-0{,}17520035}{-5{,}0931584}\approx -1{,}93439.
Uma segunda iteração (calculando f(x_{1}) e f'(x_{1})) dá a aproximação refinada
x_{2}\approx -1{,}933659.
Verificação numérica rápida: substituindo x\approx -1{,}933659 em f obtemos um valor muito próximo de zero (ordem 10^{-7} ou menor dependendo da precisão), confirmando que esta é a raiz negativa.

Resposta

x=0
x\approx -1{,}933659

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