\sqrt{x+1}=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação
\sqrt{x+1}=\frac{1}{x}
e pede que se encontre os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informação relevante fornecida:
  • A expressão envolve \sqrt{x+1} e \dfrac{1}{x}.
  • É necessário resolver para x em \mathbb{R}.
  • Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Antes de manipular a equação, identifiquemos o domínio (valores de x para os quais as expressões fazem sentido):
  • Para \sqrt{x+1} ser real é necessário x+1\ge 0. Logo
x \ge -1.
  • Para \dfrac{1}{x} estar definido é necessário x\neq 0.
  • Além disso, \sqrt{x+1} é por definição não negativa, ou seja \sqrt{x+1}\ge 0. Assim o lado direito \dfrac{1}{x} também precisa ser \ge 0. Logo
\frac{1}{x}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x>0.
  • Combinando todas as restrições obtemos o domínio prático da equação:
x>0.

Passo 3

Agora podemos manipular a equação sabendo que x>0, então não há problema em elevar ambos os lados ao quadrado (mas cabe sempre lembrar: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas, por isso depois será preciso verificar as soluções encontradas no original). Elevando ambos os lados ao quadrado:
\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2=\left(\frac{1}{x}\right)^2.
Simplificando:
x+1=\frac{1}{x^2}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^2 (válido pois x\neq0, e já sabemos x>0):
x^2(x+1)=1.
Expandindo:
x^3+x^2-1=0.
Portanto as possíveis soluções são as raízes reais do polinômio
f(x)=x^3+x^2-1.

Passo 5

Estudemos o polinômio para localizar as raízes reais. Primeiro observações úteis:
  • f(0)=-1<0.
  • f(1)=1+1-1=1>0.
    Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,1). Como precisamos de soluções com x>0, essa é a faixa de interesse.
Além disso, calculemos a derivada:
f'(x)=3x^2+2x.
Para x>0 tem-se f'(x)=3x^2+2x>0. Ou seja, f é estritamente crescente em (0,\infty). Conclusão importante:
  • Existe exatamente uma raiz real com x>0.

Passo 6

Vamos aproximar numericamente essa única raiz positiva. Uma maneira eficiente é o método de Newton. Tomamos como função
f(x)=x^3+x^2-1,\qquad f'(x)=3x^2+2x.
Escolhemos uma aproximação inicial x_0=0,75 (está dentro de (0,1) e próximo do ponto onde o sinal muda). A iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 7

Executando algumas iterações (mostrando os cálculos de forma detalhada):
  1. Para x_0=0,75:
f(0,75)=0,75^3+0,75^2-1=0,421875+0,5625-1=-0,015625,
f'(0,75)=3\cdot0,75^2+2\cdot0,75=3\cdot0,5625+1,5=1,6875+1,5=3,1875.
Aplicando Newton:
x_1=0,75-\frac{-0,015625}{3,1875}=0,75+0,004902\approx0,754902.
  1. Para x_1\approx0,754902 (vamos calcular f(x_1) aproximadamente):
    Calcule x_1^2\approx0,569874 e x_1^3\approx0,430197 (multiplicando).
f(x_1)\approx0,430197+0,569874-1=0,000071.
f'(x_1)=3x_1^2+2x_1\approx3\cdot0,569874+2\cdot0,754902\approx1,709622+1,509804\approx3,219426.
Nova iteração:
x_2=x_1-\frac{0,000071}{3,219426}\approx0,754902-0,000022\approx0,754880.
  1. Uma terceira iteração daria correção muito pequena; portanto já temos boa precisão com
x\approx0,754880.

Passo 8

Verificação rápida na equação original para garantir que não é uma solução extranha (lembrando que já restringimos x>0):
  • Calcule \sqrt{x+1} para x\approx0,754880:
\sqrt{0,754880+1}=\sqrt{1,754880}\approx1,324717.
  • Calcule \dfrac{1}{x}:
\frac{1}{0,754880}\approx1,324717.
Os dois lados coincidem (até a precisão usada), confirmando que esta raiz satisfaz a equação original.

Resposta

x\approx0,754880

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