Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que se encontre os valores de
que satisfazem essa igualdade. Informação relevante fornecida:
- A expressão envolve
e . - É necessário resolver para
em . - Não há outras condições explícitas no enunciado.
Passo 2
Antes de manipular a equação, identifiquemos o domínio (valores de
para os quais as expressões fazem sentido):
- Para
ser real é necessário . Logo
- Para
estar definido é necessário . - Além disso,
é por definição não negativa, ou seja . Assim o lado direito também precisa ser . Logo
- Combinando todas as restrições obtemos o domínio prático da equação:
Passo 3
Agora podemos manipular a equação sabendo que
, então não há problema em elevar ambos os lados ao quadrado (mas cabe sempre lembrar: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas, por isso depois será preciso verificar as soluções encontradas no original). Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
(válido pois
, e já sabemos
):
Expandindo:
Portanto as possíveis soluções são as raízes reais do polinômio
Passo 5
Estudemos o polinômio para localizar as raízes reais. Primeiro observações úteis:
-
. -
.
Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em. Como precisamos de soluções com , essa é a faixa de interesse.
Além disso, calculemos a derivada:
Para
tem-se
. Ou seja,
é estritamente crescente em
. Conclusão importante:
- Existe exatamente uma raiz real com
.
Passo 6
Vamos aproximar numericamente essa única raiz positiva. Uma maneira eficiente é o método de Newton. Tomamos como função
Escolhemos uma aproximação inicial
(está dentro de
e próximo do ponto onde o sinal muda). A iteração de Newton é
Passo 7
Executando algumas iterações (mostrando os cálculos de forma detalhada):
- Para
:
Aplicando Newton:
- Para
(vamos calcular aproximadamente):
Calculee (multiplicando).
Nova iteração:
- Uma terceira iteração daria correção muito pequena; portanto já temos boa precisão com
Passo 8
Verificação rápida na equação original para garantir que não é uma solução extranha (lembrando que já restringimos
):
- Calcule
para :
- Calcule
:
Os dois lados coincidem (até a precisão usada), confirmando que esta raiz satisfaz a equação original.